定义任意一个一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0（a≠0）均可配成(x+(b/2a))^2=b^2-4ac，因为a≠0，由平方根的意义可知，b^2－4ac的符号可决定一元二次方程根的情况．
b^2－4ac叫做一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，用“△”表示(读做delta)，即△＝b^2－4ac．
1 一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况判别
（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当△＜0时，方程没有实数根．
（1）和（2）合起来：当△≥0时，方程有两实数根．
上面结论反过来也成立．可以具体表示为：
在一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0（a≠0）中，
①当方程有两个不相等的实数根时，△＞0；
②当方程有两个相等的实数根时，△＝0；
③当方程没有实数根时，△＜0。
注意 根的判别式是△=b^2－4ac，而不是△=sqrt(b^2－4ac) 。(sqrt指根号)
2 一元二次方程的判别式的应用
（1）不解方程，判别一元二次方程根的情况．
它有三种不同层次的类型：
①系数都为数字；
②系数中含有字母；
③系数中的字母人为地给出了一定的条件．
（2）根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母的取值范围或字母间关系．
（3）应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两不等实根、有两相等实根）
应用① 解一元二次方程，判断根的情况。
② 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④ 应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤ 判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式
⑥ 可以判断抛物线与直线有无公共点
联立方程。
⑦ 可以判断抛物线与x轴有几个交点
抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点 （１）当y=0时，即有ax^2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax^2+bx+c=0。可见，抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：
1） 当Δ＞0时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax^2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0）（x2，0）。
2）当Δ＝0时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（-b/2a,0）。
3）当 Δ＜0时，抛物线与x轴没有交点。
⑧ 利用根的判别式解有关抛物线（Δ>0）与x轴两交点间的距离的问题.
⑨当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
