把两个国际象棋棋盘摆在一起,在第一格放1粒小麦,第二格放2粒,第三格放4粒,......这样两个棋盘的格子都被放入小麦粒.然后从第二个棋盘的最后一格取出1粒麦子后,这一格里就还剩下2^127-1粒麦子,即170141183460469231731687303715884105727粒麦子,这个长达39位的数字竟然是一个质数!
法国数学家梅森尼(M. Mersenne, 1588~1648)对这类形如2^n-1的质数特别感兴趣,做过很多有意义的工作,后人就把此类数命名为梅森尼数.
已经证明了,如果2^n-1是质数,则幂指数n必须是质数.然而,反过来并不对,当n是质数时,2^n-1不一定是质数.例如,人们已经找出2^11-1是一个合数,23可以除尽它;2^23-1是一个合数,47可以除尽它.
梅森尼数的例子有时非常难找.美国数学家科尔在1903年10月的一次学术会议上走上讲台,在黑板上计算了2^67-1,接着,他又把193707721和761838257287两个数用直式相乘,两次计算结果完全相同(即证明了2^67-1是合数).他一句话都没有说,就回到自己的座位上,全场顿时以暴风雨般的掌声向他表示祝贺.这个"不说话的报告"已经成为数学史上的佳话.
到1983年为止,人们已经知道有28个梅森尼数,所对应的幂指数n分别为:2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217,4253,4423,9689,9941,11213,19937,21701,23209,44497,86243.从第十三个开始,都是在1952年之后借助于计算机而陆续发现的.这个纪录还可能不断被刷新.世界各国的科技新闻中,时常会冒出所谓"最大质数"的报道,通常即是指这种梅森尼数而言.
