量子力学和波动力学在数学上来说是完全等价的！事实上，我们追寻它们各自的家族史，发现它们都是从经典的哈密顿函数而来，只不过一个是从粒子的运动方程出发，一个是从波动方程出发罢了。而光学和运动学，早就已经在哈密顿本人的努力下被联系在了一起，这当真叫做“本是同根生”了。
关于哈密顿（Hamilton,Sir William Rowan）
爱尔兰数学家。1805年8月4日生于都柏林；1865年9月2日卒于都柏林。
哈密顿是律师之子。他是个神童，没进过学校，功课几乎完全都是靠自学。他给自己硬塞下去好多钟语言，其中十四种是肯定会的，包括一此没用的语言（至少对于不打算成为东方学家的爱尔兰人没有什么用）象波斯语。他也象戴维*一样，是位业余诗人，象塞缪尔·泰勒·柯勒律治和威廉·华兹华斯都是他的朋友。
他十二岁时就对牛顿*的《原理》感兴趣，并感到自己完全为对数学越来越浓厚的兴趣所占据。他自修数学，在十七岁时，他通知爱尔兰的皇家天文学家说，他发现拉普拉斯的《天体力学》中的数学错误，从而使天文学家大为惊异。
这也使他得到好处，他二十二岁就被任命为都柏林的三一学院的的天文学教授（在最后进入学校受一点正式教育并在古典著作及数学方面以最优异成绩毕业之后）。他接受这个职位在于他了解他可以自由地搞理论，它有助于建立光的波动理论。
可是，他最重要的工作是1843年关于所谓“四元数”的发现。他正和妻子进城散步时，四元数的观念忽然在他的灵感中闪现。
似乎高斯*把虚数和实数结合在一起，用平面的点来表示，并指出处理这种复数的方法。哈密顿试图把它推广到三维，但是发现他找不到一种没有矛盾的处理方法，直到他想到乘法交换律不一定成立，乘法交换律保证A乘B等于B乘A（也即如果8乘6等于48，那么6乘8也等于48），这似乎是一种永恒的，不可逃避的真理。然而，哈密顿证明他可以为他的四元数建立起一种合乎逻辑的代数，只要使B乘A等于--A乘B即可。
这个似乎违反常识，但是哈密顿，正如洛巴切夫斯基*一样，证明真理是相对的，它依赖于你所先取的公理。七，八十年之后，这个时代来临了，这时非交换代数成为量子力学以及真正了解原子的内部结构的基础。哈密顿在1835年被封为爵士，这时他仍然很年轻，前程似锦。然而，他一直贫困，他的婚姻并不幸福，他的妻子是个病弱的妇女。他生命的最后三分之一完全耗费在酗酒上。
关于哈密顿函数
关于哈密顿原理
哈密顿原理
Hamilton principle
适用于受理想约束的完整保守系统的重要积分变分原理。W.R.哈密顿于1834年发表。其数学表达式为：
式中L＝T－V为拉格朗日函数，T 为系统的动能，V为它的势函数。哈密顿原理可叙述为：拉格朗日函数从时刻t1到t2的时间积分的变分等于零。它指出，受理想约束的保守力学系统从时刻t1 的某一位形转移到时刻t2的另一位形的一切可能的运动中，实际发生的运动使系统的拉格朗日函数在该时间区间上的定积分取驻值，大多取极小值。由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程。哈密顿原理不但数学形式紧凑，且适用范围广泛。如替换L的内容，就可扩充用于电动力学和相对论力学。此外，也可通过变分的近似算法，用哈密顿原理直接求解力学问题。
