椭圆积分
在积分学中，椭圆积分最初出现于椭圆的弧长有关的问题中。Guilio Fagnano和欧拉是最早的研究者。现代数学将椭圆积分定义为可以表达为如下形式的任何函数f的积分
其中R是其两个参数的有理函数，P是一个无重根的3或4阶多项式的平方根，而c是一个常数。
通常，椭圆积分不能用基本函数表达。这个一般规则的例外出现在P有重根的时候，或者是R(x,y)没有y的奇数幂时。但是，通过适当的简化公式，每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分。（也即，第一，第二，和第三类的椭圆积分）。
除下面给出的形式之外，椭圆积分也可以表达为勒让德形式和Carlson对称形式。通过对施瓦茨-克里斯托费尔映射的研究可以加深对椭圆积分理论的理解。历史上，椭圆函数是作为椭圆积分的逆函数被发现的，特别是这一个：F(sn(z;k);k) =z其中sn是雅可比椭圆函数之一。
记法
椭圆积分通常表述为不同变量的函数。这些变量完全等价（它们给出同样的椭圆积分），但是它们看起来很不相同。很多文献使用单一一种标准命名规则。在定义积分之前，先来检视一下这些变量的命名常规：
模角;椭圆模;参数; 上述三种常规完全互相确定。规定其中一个和规定另外一个一样。椭圆积分也依赖于另一个变量，可以有如下几种不同的设定方法：
幅度x其中u，其中x= snu而sn是雅可比椭圆函数之一 规定其中一个决定另外两个。这样，它们可以互换地使用。注意u也依赖于m。其它包含u的关系有
和
后者有时称为δ幅度并写作。有时文献也称之为补参数，补模或者补模角。这些在四分周期中有进一步的定义。
[编辑] 第一类不完全椭圆积分第一类不完全椭圆积分F定义为
与此等价，用雅可比的形式，可以设 ；则
其中，假定任何有竖直条出现的地方，紧跟竖直条的变量是（如上定义的）参数；而且，当反斜杠出现的时候，跟着出现的是模角。 在这个意义下，，这里的记法来自标准参考书Abramowitz and Stegun。使用限界符；| 是椭圆积分中的传统做法。
但是，还有许多不同的常规用于椭圆积分的记法。取值为椭圆积分的函数没有（象平方根，正弦和误差函数那样的）标准和唯一的名字。甚至关于该领域的文献也常常采用不同的记法。Gradstein, Ryzhik [1], Eq.(8.111)]采用。该记法和这里的；以及下面的等价。
和上面的不同对应的是，如果从Mathematica语言翻译代码到Maple语言，必须将EllipticK函数的参数用它的平方根代替。反过来，如果从Maple翻到Mathematica，则参数应该用它的平方代替。Maple中的EllipticK(x)几乎和Mathematica中的EllipticK[x^2]相等；至少当0<x<1时是相等的。
注意
其中u如上文所定义：由此可见，雅可比椭圆函数是椭圆积分的逆。
[编辑] 第二类不完全椭圆积分第二类不完全椭圆积分E是
与此等价，采用另外一个记法（作变量替换），
其它关系包括
[编辑] 第三类不完全椭圆积分第三类不完全椭圆积分是
或者
或者
数字n称为特征数，可以取任意值，和其它参数独立。但是要注意对于任意是无穷的。
[编辑] 第一类完全椭圆积分如果幅度为pi/2或者x=1，则称椭圆积分为完全的。第一类完全椭圆积分K可以定位为
或者
它是第一类不完全椭圆积分的特例：
这个特例可以表达为幂级数
它等价于
其中n!!表示双阶乘。采用高斯的超几何函数，第一类完全椭圆积分可以表达为
第一类完全椭圆积分有时称为四分周期。它可以采用算术几何平均值计算。
[编辑] 特殊值
[编辑] 第一类完全椭圆积分的导数}-
[编辑] 第二类完全椭圆积分第二类完全椭圆积分E可以定义为
或者
它是第二类不完全椭圆积分的特殊情况：
它可以用幂级数表达
也就是
用高斯超几何函数表示的话，第二类完全椭圆积分可以写作
[编辑] 特殊值
[编辑] 第二类完全椭圆积分的导数
[编辑] 第三类完全椭圆积分第三轮完全椭圆积分Π可以定义为
注意有时第三类椭圆积分被定义为带相反符号的n，也即
[编辑] 第三类完全椭圆积分的导数
