设S是一个非空集合，R是关于S的元素的一个条件。如果对S中任意一个有序元素对（a，b），我们总能确定a与b是否满足条件R，就称R是S的一个关系（relation）.如果a与b满足条件R，则称a与b满足条件R，则称a与b有关系R，记做aRb;否则称a与b无关系R。关系R也成为二元关系。
定义：
集合 X 与集合 Y 上的二元关系是 R=(X, Y, G(R)) 当中 G(R)，称为R 的图，是笛卡儿积 X × Y的子集。若 (x,y) ∈ G(R) 则称 x 是 R-关系於 y 并记作 xRy 或 R(x,y)。
但经常地我们把关系与其图等价起来，即若 R ⊆ X × Y 则 R 是一个关系。
例子：有四件物件 {球，糖，车，枪} 及四个人 {甲，乙，丙，丁}。 若甲拥有球，乙拥有糖，及丁拥有车－即无人有枪及丙一无所有－则二元关系"为...拥有"便是
R=({球，糖，车，枪}, {甲，乙，丙，丁}, {(球,甲), (糖,乙), (车,丁)})。
其中 R 的首项是物件的集合，次项是人的集合，而未项是由有序对（物件，主人）组成的集合。比如有序对（球，甲）以球R甲 表示，代表球为甲拥有。
不同的关系可以有相同的图。以下的关系 ({球，糖，车，枪}, {甲，乙，丁}, {(球,甲), (糖,乙), (车,丁)} 中人人皆是物主，所以与 R 不同，但两者有相同的图。
话虽如此，我们很多时候索性把R 定义为 G(R) 而 "有序对 (x,y) ∈ G(R)" 亦即是 "(x,y) ∈ R"。
二元关系可看作成二元函数，这种二元函数把输入元 x ∈ X 及 y ∈ Y 视为独立变数并求真伪值（包括「有序对(x, y) 是或非二元关系中的一元。」此一问题）。
若 X=Y，则称 R为 X上的关系。
特殊的二元关系：
设<math>A</math>是一个集合，则
空集<math>emptyset</math>称作<math>A</math>上的空关系
<math>E_ = A imes A</math>称作<math>A</math>上的全域关系
<math>I_ = {(x, x)|x in A}</math>称作<math>A</math>上的恒等关系