自然界与社会生活中存在各种各样性质迥异的幂律分布现象。
1932年,哈佛大学的语言学专家Zipf在研究英文单词出现的频率时,发现如果把单词出现的频率按由大到小的顺序排列,则每个单词出现的频率与它的名次的常数次幂存在简单的反比关系，这种分布就称为Zipf定律,它表明在英语单词中,只有极少数的词被经常使用,而绝大多数词很少被使用.实际上,包括汉语在内的许多国家的语言都有这种特点。
19世纪的意大利经济学家Pareto研究了个人收入的统计分布,发现少数人的收入要远多于大多数人的收入,提出了著名的80/20法则,即20%的人口占据了80%的社会财富.个人收入X不小于某个特定值x的概率与x的常数次幂亦存在简单的反比关系，即为Pareto定律。
Zipf定律与Pareto定律都是简单的幂函数,我们称之为幂律分布;还有其它形式的幂律分布,像名次—规模分布,规模—概率分布,这四种形式在数学上是等价的。
幂律分布表现为一条斜率为幂指数的负数的直线,这一线性关系是判断给定的实例中随机变量是否满足幂律的依据。
实际上,幂律分布广泛存在于物理学,地球与行星科学,计算机科学,生物学,生态学,人口统计学与社会科学,经济与金融学等众多领域中,且表现形式多种多样.在自然界与日常生
活中,包括地震规模大小的分布(古登堡-里希特定律),月球表面上月坑直径的分布,行星间碎片大小的分布,太阳耀斑强度的分布,计算机文件大小的分布,战争规模的分布,人类语言中单词频率的分布,大多数国家姓氏的分布,科学家撰写的论文数的分布,论文被引用的次数的分布,网页被点击次数的分布,书籍及唱片的销售册数或张数的分布,每类生物中物种数的分布,甚至电影所获得的奥斯卡奖项数的分布等,都是典型的幂律分布。 以网页被点击次数的分布为例,尽管中国向七千九百万网民提供的网站接近六十万个,但只有为数不多的网站,才拥有网民一次访问难以穷尽的丰富内容,拥有接纳许多人同时访问的足够带宽,进而有条件演化成热门网站,拥有极高的点击率,像新浪,搜狐,网易等门户网站。网页被点击次数的幂律分布其幂指数在0.60-1.03之间,而网站访问量的幂律分布其幂指数则接近1。克里斯·安德森的“长尾理论”即是幂律的口语化表达。
统计物理学家习惯于把服从幂律分布的现象称为无标度现象,即,系统中个体的尺度相差悬殊,缺乏一个优选的规模。可以说,凡有生命的地方,有进化,有竞争的地方都会出现不同程度的无标度现象。
