莱默猜想同余式 MM'= 1 (mod p) -------- (1) 其中p为奇素数,它的解的情形与性质,显然是使用中国剩余定理的一个重要问题.
设 M=np+r,M'=n'p+r',其中0<r MM'=rr'(mod p),因此解同余式MM'=1 (mod p),只需考虑M与M'介于0与p之间的解.例如,p=13时,对应的解有
(M,M')=(1,1),(2,7),(3,9),(4,10),(5,8),(6,11),(7,2),(8,5),(9,3),(10,4),(11,6),(12,12).
其中(1,1)是显而易见的,无论p为何值,(1,1)都是(1)式的解,称为平凡解.人们更关心非平凡解的性质.美国著名数学家莱默(D.H.Lehmer,1905- )希望人们关注M与M'的奇偶性相反的解,将其解的个数记为Np.例如,N13=6,即(2,7),(5,8),(6,11),(7,2),(8,5),(11,6).
现在已经求出N3=0,N5=2,N7=0,N11=4,N13=6,N17=10,N19=4,N23=12,N29=18,N31=4.
莱默由此归纳出:
当p=4n-1时,Np能被4整除,即Np=0 (mod 4);
当p=4n+1时,Np被4除余2,即Np=2 (mod 4).
这一猜想是否正确,尚未得知. (2005年)
