波兰著名数学家施坦豪斯(H.D.Steinhaus,1887-1972)曾经在他的书中提出过这样的问题:任意写出一个多位数(比如2583),算出它的各位数字的平方和(22+52+82+32=102),再对所得的和数算出其各位数字的平方和(12+02+22=5),以此类推继续下去(52=25,22+52=29,22+92=85,...).请证明,这个演算过程中或者出现1,(此后继续下去就得到循环1,1,...称为单循环(1)),或者在某一步出现145,此后会形成循环:(145,42,20,4,16,37,58,89)
60年代以色列约克奈姆的菲尔.科恩(Phil Kohn)进一步做了数字立方和计算.发现会出现以下三种情况:
(一)从任意一个3的倍数开始,算出它的各位数字的立方和,再对所得的和数算出其各位数字的立方和,如此下去,必定出现153.例如,48->576->684->792->1080->513->153,从前一篇<回归数的猜想>我们知道153是3次回归数.即出现单循环(153)
如果从任意一个不是3的倍数的数开始,反复进行上述变换,则有下列(二)或(三)的情况:
(二)出现1,370,371,407四个数之一,我们知道,这四个数也是3次回归数.所以出现四个单循环(1),(370),(371),(407).
(三)出现下列某个循环之一:(55,250,133),(160,217,352),(136,244),(919,1459)
那么,从任意一个正整数开始,它的各位数字的 m 次幂之和又会怎样的呢?(m>=4),这就是我国数学爱好者热衷于研究的数字m次幂和的问题,国内有人认为这是一项有意义的课题.
显然,数字m次幂和问题与前面的m位m次回归数是有联系的.例如,上面科恩发现的数字三次幂和问题中出现了由三位数组成的单循环:(153),(370),(371),(407).这四个三位数必为三位三次幂回归数.
我对于10,000,000,000以下的所有数字研究了四次幂和问题,发现大多数都会陷入循环(13139,6725,4338,4514,1138,4179,9219),也有许多会陷入单循环(8208),少数会陷入循环(2178,6154),第一个陷入单循环(1634)的数字是1346, 第一个陷入单循环(9474)的数是4479.当然数字1,10,100,1000,...陷入单循环(1).
对于10,000,000,000以下的所有数的五次幂和的研究表明,有如下15个循环:
(一)单循环:(4150),(4151),(54748),(92727),(93084),(194979)
(二)二循环:(58618,76438),(89883,157596)
(三)如下循环之一:(10933, 59536, 73318, 50062),
( 8299,150898,127711, 33049,68335,44155),
( 8294, 92873,108899,183635,44156,12950, 62207,24647, 26663,23603),
( 9044, 61097, 83633, 41273,18107,49577, 96812,99626,133682,41063)
(24584, 37973, 93149,119366,74846,59399,180515,39020, 59324,63473,26093,67100)
( 9045, 63198,99837,167916,91410,60075,27708,66414,17601,24585,40074,18855,71787,83190,92061,66858,84213,
34068,41811,33795,79467,101463)
( 244,2080,32800,33043,1753,20176,24616,16609,74602,25639,70225,19996,184924,93898,183877,99394,178414,
51625,14059,63199,126118,40579,80005,35893,95428,95998,213040,1300)
六次幂和的情形,有如下几个循环
(548834)
(63804 313625)
(824963 845130 282595)
(93531 548525 313179 650550)
(239459 1083396 841700 383890 1057187 513069 594452 570947 786460 477201)
(17148 383891 1057188 657564 246307 169194 1113636 94773 771564 301676 211691 578164 446171 172499 1184692 844403 275161 179996 1758629 973580 927588 1189067 957892 1458364 333347 124661 97474 774931 771565 313205)
七次幂和有如下几个循环
(1741725)
(4210818)
(9800817)
(9926315)
(14459929)
(2755907 6586433)
(8139850 9057586)
(8807272 5841646 2767918)
(2191663 5345158 2350099 9646378 8282107 5018104)
(10080881 6291458 7254695 6059210 5141159 4955606 5515475 1152428 2191919 14349038 6917264 6182897)
(922428 6896889 16417266 1679865 8341662 2675724 2021787 3744495 5735976 6868428 6867840 5594103 4957791 11307534)
(7800361 3202819 6882565 4910554 4971988 14600170 1119865 7238185 5098288 11152678 3278887 7940857 8621716 3480697 8002171 2920825 6958630 7520305 982108 8977402 8543719)
(253074 920367 5888763 7475247 2581650 2533467 1202490 4799610 10685802 4552494 4988499 18575979 13466427 1418499 11695860 7518120 2998950 16524312 376890 7985787 11526027 1181862 4474371 1698426 7456506 1556049 5235540)
(10006498 7176442 1959919 19210003 4785286 5392420 4879921 12503146 376762 2209273 5609083 7240369 5905147 5779147 7348108 5036419 5159602 5219284 6974887 10920679 10669546 5717287 4646035 672952 5964829 12037663 1387918 9803005 6960433 5363599)
(86874 5314167 1200177 1647216 1399929 19134192 9584640 7270950 6508308 4554552 345396 5161788 5375910 5764950 6059082 7238310 2925198 11741472 1679985 12844695 7271079 7253727 2551197 5762892 8061981 9257211 5684895 9429843 11698173 7985790 13388301 4200867 3217143 844431 2148492 6913146 5361414 393018 6884496 9569913 14709156 5980959 16602309 5345157 1076490 5902833 6962748 8280048 6307968 8265723 3281199 11665407 1477926 6726504 1478052 3015333)
(80441 2129921 9566324 5439665 5517662 1539794 10486178 5314169 5159603 5221343 99140 9582323 6962876 8543600 2473784 3779321 6434558 2568293 7240625 1198244 6913019 9848063 9275780 8605460 2751533 984296 11959538 11821529 6958505 7394432 5643782 3297455 5781461 3295142 4879922 12503273 906299 14628971 8000114 2113538 2179781 8527337 3826865 4834616 2691980 11943155 4957793 11309720 5608829 9335462 5161916 5420969 9940511 9660449 10158578 5174099 10483991 11681663 2939150 9646379 10967924 10685930 7240370 1665785 3636818 4758551 3171455 998366 12225149 4877864 6154094 5173799 11293337 5613203 362564 656696 5980838 11154737 1743785 3840935 6979004 10685801 4552367 1278428 5034488 4307384 2957837 8607647 4320494 4834436 2430614 315020)
八次幂和有如下几个循环
(24678050)
(24678051)
(88593477)
(7973187 77124902 54642372)
(62097347 56328292 61901507 50881765 41780100 22607555 8616804 36979201 93544677 56784197 73489317 71432198 65661093 48482756 41520802 17233890 65602117 9514916 88229221 76602178 31666307 10816772 29986692 149277123 54648934)
(6822 18457344 23135812 17181477 34137158 23011302 13636 3372355 6565990 90233924 86172612 25901763 50888581 67890115 67658981 86115812 35624932 45196132 45189317 66051462 5495266 47252995 92705541 49658565 64420580 18978785 105298597 109416966 91197828 125412933 43516518 19310181 59830502 60612004 3425025 853859 77388964 89882468 111900993 129146727 56321989 104947717 60472198 67334147 13353413 482407 22673345 7914212 48877572 51305252 1178949 108700997 114400261 1810947 65654276 11650691 46796581 69404132 44864227 24418753 23070532 6169060 48085570 40166019 46471491 50687748 47219811 65654533 4609765 52626915 47187716 35816773 30390182 59837316 67672102 14889347 82503588 51119715 49592776 99759077 146825191 61959973 136981767 74719334 54720518 23389060 61516931 46803142 18594722 66045412 3881186 52017827 28697956 112385572 23330342 92292 86094210 61569346 48548292 77123362 13222853 17181732 28313638 35253988 77395781 77515527 18466535 20989796 153362052 2474501 6286755 26682755 26683011 20143267 7517027 17685285 41780356 24684356 20664962 48151617 24677797 67851333 24631942 44864483 35502753 6950054 45573123 6624966 49830977 114472357 12058118 33945316 45202182 17234146 7582308 39716675 58332742 23011812 16784292 67334403 7595172 55357830 23727014 11602212 1680387 41005411 521700 6155683 20924260 44792641 50688003 35631234 2155717 12311110)
九次幂和有如下几个循环
(146511208)
(472335975)
(534494836)
(912985153)
(756738746 277668893)
(1043820406 144839908)
(409589079 1339048071 562293336)
(525584347 180975193 951385123)
(198653173 574062013 52666768 216835756)
(20700388 308809258 792046993 1212975109 817148737 389778106 746660539 460242136)
(62986925 931168247 572351861 188575478 487528793 738798623 746680733 235381844 270952748 604561724)
(527799103 857521513 180450907 564207094 440329717 468672187 369560719 837322786 359260756 451855933)
(859717610 614376254 63006608 164470499 826058714 321082541 136453706 62763635 72579698 1001797253 470101025 42569390 787154138 351377624 93040058 523873169 574062524 54862865 292759754)
(52687474 227480563 186885007 455037613 54639064 410072977 508743967 614658079 584362486 291088456 668149423 542338093 523913047 430029244 388227628 453105706 54619381 533950867 576015136 64434934 398586127 708260569 584100853 272623534)
(322219 387441709 602889403 666215980 553824943 526108633 156366124 32468554 148746157 227480053 176807311 225022324 2237512 42327952 430010584 136714825 186884497 841029265 533932207 429787294 990291232 1162282687 328945993 1298734342 562556503 27988087 870781399 1124003332)
(1055589083 661735004 62743952 440087768 359744654 442564157 55124498 526069268 553825454 142574711 83185142 270670922 478206935 574304984 564751064 64939538 921391037 815234465 148746158 321344174 41179919 1202877221 214926992 1172602844 185174345 179021558 565898588 940228472 562517648 198895634)
(1047465024 53171373 82719390 949432509 1164759075 482373795 604600578 196941996 1570099494 1205092488 658072239 574043352 44824023 135024867 186884496 810753354 178779096 1040197224 428299410 909584019 1298694465 931692024 785201526 188556306 292516782 574024182 177049773 549116745 442282332 134783430 175154673 94972989 1724515947 472558755 223000098 521658924 535885332 274354392 430291899 1296761535 451855935 529732545 433916322 397820403 562293846 544029585 528022392 523613073 52443990 777338586 401566464 32972646 448212339 522202896 533671086 196719219 1212693285 533690259 788864802 587564871 363388761 329003505 391366617 458046552 150679599 1216599021 786872826 503516814 148483503 270952236 439826136 542095632 401687286 329207112 427795317 510716775 135044769 440348889 790879788 1298554983)
(400014966 408100170 174833481 309352719 817187589 872734014 215469426 410054319 389917587 1125956457 443973825 564509115 403619706 448211316 144839910 909602679 1222770978 642700575 94953816 921371355 431720226 50714667 103077876 265375929 829199238 1430717631 91086423 531998253 913004835 523892853 659802585 671793528 614396448 542599725 821317128 308809773 736602525 64435956 412026102 10341378 174872847 390021078 562012020 12032358 136211244 10622694 407839050 564226776 113156595 403377246 91349076 825554109 527760249 480421692 532241226 12314697 438134133 134820750 176806800 328944456 534475665 66912345 409811346 532259886 669860598 1075462647 103340532 2274831 174854187 351620085 148221870 309052233 389433687 706608441 195251016 401404950 390160047 438133620 144617130 50975277 512388072 310762896 582167412 186865326 300641865 156608073 196699536 1194467364 448735605 189099252 1298433345 524175192 431943516)
十次幂和有如下几个循环:
(4679307774)
(344050075 304162700)
(1139785743 5136409024 3559173428 4863700423 1418899523 9131926726 7377037502)
(7540618502 1437264100 345098652 4641632300 123148627 1417792924 7540618502 1437264100 345098652 4641632300 123148627 1417792924)
(62681428 2269466625 3739466378 5247634798 5197865749 8693307127 5186062022 1204442874 1360413426 123148628 2209059499 13957953853 8359259898 13701169998 11877095504 5146056551 161043430)
(8119698629 12728770229 5407956069 7397556229 7618577823 3065201270 352768148 2501299348 8058185925 6737307773 1473019568 4914340902 6976774604 4517705828 2733014997 7539686999 15434111703 294456128 4632857227 1710034820 1357325724 585650471 1447028701 1640790500 3840540028 2159406498 8119640604 4683555731 1447146799 7602131206 403468700 1418839450 5646189877 6330965101 3617600478 1760732300 625535797 4141558023 1095430301 3497716702 4395784974 8625231526 1214267548 1428548076 2502288875 3523235043 20818070 2429959922 13957955901 10772184378 2996018046 8169292579 11886804126 3343207427 567226845 1497731299 11026412352 71342501 293349525 6994268774 8735291652 4923059998 15031753702 584600872 2501240298 4571343499 7269073503 4122085822 2158301946 4631866677 1881664652 2339697403 7317736974 4678318248 3566324123 131925749 7266918327 5246470173 637339525 3849435247 4856031949)
(910107174 4052783478 2724356996 7387851701 3004734071 567165749 4193247078 5127633949 7327443551 586698023 5765026099 7396508677 5538708998 10496859822 9192334876 8391419750 8340659127 4914341925 6986540230 4692332851 4631926749 7379133629 7599163648 8461591478 5989072253 8349378222 5917913044 7267965879 9025435374 3791007174 4335317775 868182721 3564168947 4975855653 4943637775 4406657199 7388839181 8064345046 1207644578 1711022300 282536349 4631926748 4966091052 7105316380 1426566974 3962521980 8117603525 1436274574 638388101 3281809748 6991593772 11095595576 7355572729 4363568120 1205607500 362473700 626584372 1488024723 2432117147 567108750 1718689749 9747517702 4627500623 414282899 9123151651 3566841904 4693380404 4624256227 415274474 578911452 4863582326 2279350347 4062669246 3730748305 1649683670 5025507628 1445982172 4854866301 2280337827 2712555316 372299399 14229732999 14230723551 303175223 292420070 3770311298 5125595847 4883113575 2450656823 1215315099 6993160128 8168303053 2217892597 8622029822 5694739345 7338256727 1991519518 11553626281 1214266526 192215803 4570352949 7277732526 1200194918 8048360229 5695843898 10275899325 8349378223 5917971069 11095535504 3526954528 4651398949 11606483030 1195840852 5654848901 5716362628 1547442324 296496276 7438493203 4845276797 5480281949 9132916252 7043862726 1760734347)
从未碰到不陷入循环的数字,我猜想任何自然数经过若干次变换都会陷入循环,我可以证明从总的趋势来看,N经过m次方幂变换之后的数一般来说是小于N本身的,在m小于N的长度n时,这一点是肯定的,下面我们来证明这一点:
若N=a0 + a1*10 + a2*102 +...+ an-1*10n-1 (n∈{1,2,3,...};a0,a1,a2,...an-1∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9})
设F(N)=a0m + a1m + a2m +...+ an-1m = b0*0m + b1*1m + b2*2m +...+ b9*9m (b0+b1+b2+...+b9=n)
我们从最不利的情形出发,假设m=n-1,则有:
N - F(N) >= 1 + 10 + 102 + ... + 10n-1 - n*9n-1 = (10n-1)/9 - n*9n-1 = 9n-1((10/9)n - 1/9n - n)
当n=34时,(10/9)34 = 35.954618...,而1/934 = 3.95...*10-33 所以 N-F(N)>0,即 N >F(N).
从前一篇文章中我们也可以看到,若m=n,则当n>=60的情形,也必定有 N >F(N),现在看来,无论m大于n多少,只要n足够大,就可以使得
N >F(N).因此,我们可以将1->1060,当作1060 个鸽笼,当变换次数超过 1060 次时,必定形成一个循环,这样实际上我们证明了任何自然数经过若干次变换都会陷入循环这一猜想.
另外,从上面各个循环的数据可以观察到,这种变换的结果数的长度是稳定在m位左右的,这是由变换本身决定的:
F(N)= b0*0m + b1*1m + b2*2m +...+ b9*9m (b0 + b1 + b2 + ... + b9=n;m=<n)
= c0 + c1*10 + c2*102 +...+ cm*10m
从另一个角度来看,也是支持我们的猜想的,我们可以看到,如下极限趋于0:
lim F(N)/N = lim (b0*0n + b1*1n + b2*2n +...+ b9*9n)/(a0 + a1*10 + a2*102 +...+ an*10n) = 0
n->∞ n->∞
