英国大数学家哈代(G.H.Hardy,1877-1947)曾经发现过一种有趣的现象:
153=1^3+5^3+3^3
371=3^3+7^3+1^3
370=3^3+7^3+0^3
407=4^3+0^3+7^3
他们都是三位数且等于各位数字的三次幂之和,这种巧合不能不令人感到惊讶.更为称奇的是,一位读者看过哈代的有趣发现后,竟然构造出其值等于各位数字四(五,六)次幂之和的四(五,六)位数:
1634=1^4+6^4+3^4+4^4
54748=5^5+4^5+7^5+4^5+8^5
548834=5^6+4^6+8^6+8^6+3^6+4^6
注:3位3次幂回归数又称位“水仙花数”
像这种其值等于各位数字的 n 次幂之和的 n 位数,称为n 位 n 次幂回归数.本文只讨论这种回归数,故简称为回归数,人们自然要问:对于什么样的自然数 n 有回归数?这样的 n 是有限个还是无穷多个?对于已经给定的 n ,如果有回归数,那么有多少个回归数? 1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那(Anthony Diluna)巧妙地证明了使 n 位数成为回归数的 n 只有有限个.
设 An 是这样的回归数,即:
An=a1a2a3...an=a1^n+a2^n+...+an^n (其中 0<=a1,a2,...an<=9)
从而 10^n-1<=An<=n9^n 即 n 必须满足 n9^n>10^n-1 也就是 (10/9)^n<10n (1)
随着自然数 n 的不断增大,(10/9)^n 值的增加越来越快,很快就会使得(1) 式不成立,因此,满足(1)的 n 不能无限增大,即 n 只能取有限多个.进一步的计算表明:
(10/9)^60=556.4798...<10*60=600 (10/9)^61=618.3109...>10*61=610
对于 n>=61,便有 (10/9)^n>10n
由此可知,使(1)式成立的自然数 n<=60.故这种回归数最多是60位数.迪拉那说,他的学生们早在1975年借助于哥伦比亚大学的计算机得到下列回归数:
一位回归数:1,2,3,4,5,6,7,8,9
二位回归数:不存在
三位回归数:153,370,371,407
四位回归数:1634,8208,9474
五位回归数:54748,92727,93084
六位回归数:548834
七位回归数:1741725,4210818,9800817
八位回归数:24678050,24678051
但是此后对于哪一个自然数 n (<=60)还有回归数?对于已经给定的 n ,能有多少个回归数?最大的回归数是多少?
3 153 370 371 407
4 1634 8208 9474
5 04150(广义解), 04151(广义解),54748 92727 93084
6 548834
7 1741725 4210818 9800817 9926315
8 24678050 24678051 88593477
9 146511208 472335975 534494836 912985153
10 4679307774
11 82693916578 44708635679 94204591914 32164049651 42678290603 40028394225 32164049650 49388550606
12 无解
13 无解 0564240140138(只有广义解一组)
14 28116440335967
15 无解
16 4338281769391371 4338281769391370
17 35641594208964132 21897142587612075 35875699062250035 0233411150132317(广义解)
18 无解
19 4498128791164624869 4929273885928088826 3289582984443187032 1517841543307505039
20 63105425988599693916
21 128468643043731391252 449177399146038697307
22 无解
23 21887696841122916288858 28361281321319229463398 27879694893054074471405
35452590104031691935943 27907865009977052567814
24 188451485447897896036875 239313664430041569350093 174088005938065293023722
25: 114735624485461118832514、832662335985815242605070、 832662335985815242605071、 1550475334214501539088894、1553242162893771850669378、3706907995955475988644380、3706907995955475988644381、4422095118095899619457938
26 无解
27: 7584178683470015004720746(广义解)、77888878776432530886487094(广义解)、121204998563613372405438066、121270696006801314328439376、128851796696487777842012787、174650464499531377631639254、 177265453171792792366489765
28 无解
29: 477144170826130800418527003(广义解)、4716716265341543230394614213(广义解)、 5022908050052864745436221003(广义解)、14607640612971980372614873089、19008174136254279995012734740、19008174136254279995012734741、23866716435523975980390369295、
30 无解
31: 0793545620525277858657607629822(广义解)、1145037275765491025924292050346、1927890457142960697580636236639、2309092682616190307509695338915、
32: 17333509997782249308725103962772
33: 32186410459473623435614002227248(广义解)、186709961001538790100634132976990、186709961001538790100634132976991
34: 1122763285329372541592822900204593
35: 5250083909873201044638631458484846(广义解)、7673249664848285722449710136138169(广义解)、12639369517103790328947807201478392、12679937780272278566303885594196922
36: 91097771122214850683543503173498149(广义解)
37: 418510620208153136884574959404115822(广义解)、618670315011216949642642321868915308(广义解)、1219167219625434121569735803609966019
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39: 16427762135335641330720936105651700735(广义解)、83281823928125880164896079973522049472(广义解)、83281830613691836766959173718984508549(广义解)、115132219018763992565095597973971522400、
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