勾股定理是数学中最重要的定理之一。也许在数学中还找不到这样一个定理，其证明方法之多能够超过勾股定理。它有四百多种证明！卢米斯（Loomis）在他的《毕达哥拉斯定理》一书的第二版中，收集了这个定理的37O种证明并对它们进行了分类。
关于这个定理，虽然号称毕达哥拉斯定理，但人们在遗留下来的古希腊手稿或译文中并没有找到毕达哥拉斯本人及其学派的有关证明，所以人们只能对他可能用的方法进行一些揣测。有据可查的最早证明见于欧几里得的《几何原本》（公元前3世纪）之中。欧几里得用几何的方法，作出了一个巧妙的证明，有兴趣的读者不妨查阅一下。
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）2=c2
化简后便可得：
a2+b2=c2
亦即：
c=（a2+b2）(1/2)
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有所发展。
印度的数学家兼天文学家婆什迦罗，也给出了与赵爽相同的几何图形。但是婆什迦罗在画出这个图形之后，并没有进一步解释和证明，只是说：“正好！”婆什迦罗还给出了这个定理的另外一个证明，即画出斜边上的高，由图中给出的两个相似三角形，我们有
c/b=b/m和c/a=a/n
即
cm=b2和cn=a2
相加便得：
a 2 +b2=c(m+n)=c2
中国的数学家刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。刘徽对这组公式进行了严格的论证。这是迄今为止用于勾股数的最完美的表达形式之一。
汉朝的数学家赵君卿，在注释《周髀算经》时，附了一个图来证明勾股定理。这个证明是四百多种勾股定理的说明中最简单和最巧妙的。您能想出赵老先生是怎样证明这个定理的吗？
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”
勾股圆方图
勾股各自乘，并之为玄实。开方除之，即玄。 案玄图有可以勾股相乘为朱实二
，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实亦成玄实。以差实减玄实
，半其余。以差为从法，开方除之，复得勾矣。加差于勾即股。凡并勾股之实，
即成玄实。或矩于内，或方于外。形诡而量均，体殊而数齐。勾实之矩以股玄差
为广，股玄并为袤。而股实方其里。减矩勾之实于玄实，开其余即股。倍股在两
边为从法，开矩勾之角即股玄差。加股为玄。以差除勾实得股玄并。以并除勾实
亦得股玄差。令并自乘与勾实为实。倍并为法。所得亦玄。勾实减并自乘，如法
为股。股实之矩以勾玄差为广，勾玄并为袤。而勾实方其里，减矩股之实于玄实
，开其余即勾。倍勾在两边为从法，开矩股之角，即勾玄差。加勾为玄。以差除
股实得勾玄并。以并除股实亦得勾玄差。令并自乘与股实为实。倍并为法。所得
亦玄。股实减并自乘如法为勾，两差相乘倍而开之，所得以股玄差增之为勾。以
勾玄差增之为股。两差增之为玄。倍玄实列勾股差实，见并实者，以图考之，倍
玄实满外大方而多黄实。黄实之多，即勾股差实。以差实减之，开其余，得外大
方。大方之面，即勾股并也。令并自乘，倍玄实乃减之，开其余，得中黄方。黄
方之面，即勾股差。以差减并而半之为勾。加差于并而半之为股。其倍玄为广袤
合。令勾 股见者自乘为其实。四实以减之，开其余，所得为差。以差减合半其
余为广。减广于玄即所求也。
观其迭相规矩，共为返覆，互与通分，各有所得。然则统叙群伦，弘纪众理，贯
幽入微，钩深致远。故曰，其裁制万物，唯所为之也。
