π/2 = lim(n→∞)[ (2n)!! / (2n-1)!! ]^2 / (2n+1)
这个公式便是Wallis公式.
【Wallis公式证明】用分布积分法可得
由sinx的单调性推知
即为
变形后得到
由求极限的夹逼准则，得到
即为Wallis公式
【Wallis公式的意义】Wallis公式是关于圆周率的无穷乘积的公式,但Wallis公式中只有乘除运算,连开方都不需要,形式上十分简单.虽然Wallis公式对π的近似计算没有直接影响,但是在导出Stirling公式中起到了重要作用
Wallis公式还有一些变形:
①(2n)!! / (2n-1)!! ~ √(πn)
②(n!)^2 * 2^2n / (2n)! ~ √(πn)
从①式可以看出Wallis公式的实质就是刻画了双阶乘(2n)!!与(2n-1)!!之比的渐近性态