这是微积分学里的内容。
二项微分式是说,当a,b为实数,而p,q,r为有理数时,我们把x^p (a+b x^q)^r dx称为二项微分式。
在微分学里,对初等函数求导还得到初等函数,但积分就不同,虽然只要是几乎处处连续的函数都是黎曼可积的,但是有很多看似简单的函数求积分,结果就不能用初等函数表达出来,如∫ sin x / x dx等等。
在对二项微分式积分时,如果有b=0,r=0,a=0等等类似情况,它可以迅速解决,这些“平凡情况”我们不详细讨论。
在可积出的情况下,令t = x^q,再根据情况令u =(a+b t)^(1/n)或者u =((a+b t)/t)^(1/n)之类变换即可做出来。(这里n是r的分母)。
牛顿确认了,当r,(p+1)/q,r+(p+1)/q三者之一为整数时,此式可以积出,即其积分是初等函数。
后来,切比雪夫证明了,当r,(p+1)/q,r+(p+1)/q三者都不是整数时,该式不能积出,即不能用初等函数表示该积分。
利用这个知识可以确定一些积分是否能积出。例如:∫(sin x)^p (cos x)^q dx,这里p,q是有理数,利用换元t=sin x可知,它为初等函数的条件是(1+p)/2,(1+q)/2,(p+q)/2之一为整数.