在数学中，一个定义在集合X上的实值函数f的支撑集，或简称支集，是指X的一个子集，满足f恰好在这个子集上非0。最常见的情形是，X是一个拓扑空间，比如实数轴等等，而函数f在此拓扑下连续。此时，f的支撑集被定义为这样一个闭集C：f在XC中为0，且不存在C的真闭子集也满足这个条件，即，C是所有这样的子集中最小的一个。拓扑意义上的支撑集是点集意义下支撑集的闭包。
特别地，在概率论中，一个概率分布是随机变量的所有可能值组成的集合的闭包。
紧支撑一个函数被称为是紧支撑于空间X的，如果这个函数的支撑集是X中的一个紧集。例如，若X是实数轴，那么所有在无穷远处消失的函数都是紧支撑的。事实上，这是函数必须在有界集外为0的一个特例。在好的情形下，紧支撑的函数所构成的集合，在所有在无穷远处消失的函数构成的集合中，是稠密集的，当然在给定的具体问题中，这一点可能需要相当的工作才能验证。例如对于任何给定的ε > 0，一个定义在实数轴X上的函数f在无穷远处消失，可以粗略通过通过选取一个紧子集C来描述：
| f(x) − 1C(x)f(x) | < ε
其中1C(x)表示C的指示函数。
注意，任何定义在紧空间上的函数都是紧支撑的。
当然也可以更一般地，将支撑集的概念推广到分布页面分布并不存在，英语维基百科对应页面为distribution (mathematics)。，比如狄拉克函数：定义在直线上的δ(x)。此时，我们考虑一个测试函数F，并且F是光滑的，其支撑集不包括0。由于δ(F)（即δ作用于F）为0，所以我们说δ的支撑集为{0}。注意实数轴上的测度（包括概率测度）都是分布的特殊情况，所以我们也可以定义一个测度支撑集。
奇支集在傅立叶分析的研究中，一个分布的奇支集或奇异支集有非常重要的意义。 直观地说，这个集合的元素都是所谓的奇异点，即使得这个分布不能局部地看作一个函数的点。
例如，单位阶跃函数的傅立叶变换，在忽略常数因子的情况下，可以被认为是1 / x，但这在x = 0时是不成立的。所以很明显地，x = 0是一个特殊的点，更准确地说，这个分布的傅立叶变换的奇支集是{0}，即对于一个支撑集包括0的测试函数而言，这个分布的作用效果不能表示为某个函数的作用。当然这个分布可以表示为一个柯西主值意义下的瑕积分。
对于多变量的分布，奇支集也可以更精确地被描述为波前集页面波前集并不存在，英语维基百科对应页面为wave front set。，从而可以利用数学分析来理解惠更斯原理。奇支集也可以用来研究分布理论中的特殊现象，如在试图将分布'相乘'时候导致的问题（狄拉克函数的平方是不存在的，因为两个相乘的分布的奇支集必须不相交）。
支撑族支撑族是一个抽象的拓扑概念，昂利·嘉当在一个层中定义了这个概念。在将庞加莱对偶性页面庞加莱对偶性并不存在，英语维基百科对应页面为en:Poincaré duality。推广到非紧的流形上的时候，在对偶的一个方面上引入紧支撑的概念是自然的。
Bredon的书《Sheaf Theory》(第二版 1997)中给出了这些定义。X的一组闭子集Φ是一个支撑族，如果它是下闭的并且它的有限并也是闭的。它的扩张是Φ的并。一个仿紧化(paracompactifying)的支撑族对于任何，在子空间拓扑意义下是一个仿紧空间页面仿紧空间并不存在，英语维基百科对应页面为paracompact space。，并且存在一些是一个邻域。如果X是一个局部紧空间页面局部紧空间并不存在，英语维基百科对应页面为locally compact space。，并且是豪斯多夫空间，所有的紧子集组成的族满足上的条件，那么就是仿紧化的。
