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单元素集合

王朝百科·作者佚名  2010-08-02
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数学上,单元素集合是由唯一一个元素组成的集合。例如,集合 {0} 是个单元素集合。注意,集合诸如 {{1,2,3}} 也是单元素集合,唯一的元素是一个集合(这个集合可能本身不是单元素集合)。

一个集合是单元素集合,当且仅当它的式为1。在自然数的集合论定义中,数字 1 就是定义为单元素集合 {0}。

在公理集合论中,单元素集合的存在性是空集公理和对集公理的结果:前者产生了空集 {},后者应用于对集 {} 和 {},产生了单元素集合 {{}}。

若A是任意集合,S是单元素集合,则存在唯一一个从A到S的函索,该函数将所有A中的元素映射到S的单元素。

在范畴论中,单元素集合上构建的结构通常作为终对象或零对象 :

上述说明所有单元素集合S都是集合范畴的终对象。该范畴中没有其它终对象。 任意单元素集合都能够转化成拓补空间(所有子集都是开集)。这些单元素拓扑空间是拓补空间范畴的终对象。该范畴中没有其它终对象。 任意单元素集合都能够转化成群(唯一的元素作为单位元素)。这些单元素是群范畴的零对象。群范畴中没有其它零对象或终对象.

 
 
 
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