幂零矩阵

王朝百科·作者佚名  2010-08-22
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幂零矩阵是一个n×n的方块矩阵M,满足以下等式:

对于某个正整数q,有M^q=0。类似地幂零变换是一个线性变换L,满足L= 0对于某个整数q。

幂零矩阵是幂零元──一个更加一般的概念的特殊情况,不仅可以应用于矩阵和线性变换,也可以应用于环的元素。

性质设M为n×n的幂零矩阵。

满足M^q= 0的最小整数q小于或等于n。 在代数封闭域上,矩阵M是幂零的,当且仅当它的所有特征值为零。因此,M的行列式和迹数都为零,所以幂零矩阵不是可逆的。 假设A和B是两个矩阵。如果A是可逆矩阵,则AB是幂零矩阵,当且仅当det(A+tB)与t无关。这是因为: 其中是AB的特征值。M的特征多项式为λ。 每一个严格的上三角矩阵或下三角矩阵都是幂零矩阵。 每一个奇异矩阵都可以写成若干个幂零矩阵的乘积。

 
 
 
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