连通图

王朝百科·作者佚名  2010-09-07
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无环连通图

概述在图论中,连通图基于连通的概念。在一个无向图G中,若从顶点vi到顶点vj有路径相连(当然从vj到vi也一定有路径),则称vi和vj是连通的。如果G是有向图,那么连接vi和vj的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的,那么图被称作连通图。图的连通性是图的基本性质。

严格定义对一个图G=(V,E) 中的两点x和y,若存在交替的顶点和边的序列

Γ=(x=v0-e1-v1-v2-...-ek-(vk+1)=y) (在有向图中要求有向边vi−(vi+1)属于E),则两点x和y是连通的。Γ是一条x到y的连通路径,x和y分别是起点和终点。当x=y时,Γ 被称为回路。如果通路 Γ 中的边两两不同,则 Γ 是一条简单通路,否则为一条复杂通路。如果图G中每两点间皆连通,则G是连通图。

相关概念连通分量:无向图G的一个极大连通子图称为G的一个连通分量(或连通分支)。连通图只有一个连通分量,即其自身;非连通的无向图有多个连通分量。

强连通图:有向图G=(V,E) 中,若对于V中任意两个不同的顶点x和y,都存在从x到y以及从y到x的路径,则称G是强连通图。相应地有强连通分量的概念。强连通图只有一个强连通分量,即是其自身;非强连通的有向图有多个强连分量。

初级通路:通路中所有的顶点互不相同。初级通路必为简单通路,但反之不真。

性质一个无向图G=(V,E) 是连通的,那么边的数目大于等于顶点的数目减一:|E|>=|V|-1,而反之不成立。

如果G=(V,E) 是有向图,那么它是强连通图的必要条件是边的数目大于等于顶点的数目:|E|>=|V|,而反之不成立。

没有回路的无向图是连通的当且仅当它是树,即等价于:|E|=|V|-1。

参考来源Fred Buckley,Marty Lewinter.《图论简明教程》.李慧霸 王凤芹 译.北京:清华大学出版社.2005 年

W.T.Tutte,Graph Theory. Cambridge University Press . 2004

 
 
 
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