一般地, 对于数学对象X, 我们可定义复数列{lambda_X(n)}_{n=1}^{infty, 形如
L(s, X)=sum_{n=1}^{infty}frac{lambda_X(n)}{n^s}, Res>1
且有Euler乘积的Dirichlet级数, 我们称其为关于X的L-函数.
1, L-函数的来源
一般地说, L-函数来源由两类组成: 算术L-函数和自守L-函数. 这两者又是密切联系在一起的, 根据P. R. Langlands的猜想: 笼统地说, 一切有意义的L-函数都来自自守L-函数.
算术L-函数: 简单地说, 是有算术有意义的L-函数. 例如黎曼zeta-函数, Dirichlet L-函数, Dedekind zeta-函数, 椭圆曲线的Haass-Weil L-函数, 阿廷L-函数等等.
自守L-函数: 全纯模形式的L-函数, Maass L-函数, 标准L-函数等等.
2, L-函数的研究内容
根据P. R. Langlands在国际数学家大会上的报告所指, 研究一个L-函数主要有三部分内容:
(1) 解析延拓, 函数方程: 这是最基本的一部分. 对于一般的自守L-函数这是较容易得到的, 但是对算术的L-函数这一部分并不是容易得到的. 例如, 对于Haass-Weil L-函数, 这部分就是 Taniyama猜想, 该猜想一部分就能推出费尔马大定理. 关于阿廷L-函数的全纯解析沿拓的阿廷猜想也是数论中重要的未知问题.
(2) 零点的分布: 非零区域, 黎曼猜想和广义黎曼猜想问题; 在假设黎曼猜想下, 零点虚部的分布问题与随机矩阵的联系等等.
(3) 特殊点的值: 中心值, 临界点, 整点的值, 极点的留数等. 这里面也有很多猜想, 像BSD猜想, 类数问题, Deligne 猜想，Beilinson 猜想，Goldfeld猜想. 其实往往我们重要的不仅是关心它具体有多大，而是关心的这个量里面隐含着什么样的算术意义。像Dedekind zeta 函数在s=1处的留数，里面包含了一个数域的很多不变量：类数，判别式，regular等；BSD猜想就是Haass-Weil L-函数在中心点的的阶就是该椭圆曲线的秩！
参考文献:
D. Bump, Automorphic forms and representations, Cambridge University Press, 1997.
H. Iwaniec and E. Kowalski, Analytic Number Theory, AMS, Providence, 2004.
H. Iwaniec and P. Sarnak, Perspectives on the analytic theory of L-function, Special volume, GAFA 2000, 705-741.
P. R. Langlands, L-functions and automorphic representations,Talk at Helsinki ICM, 1978.
P. Sarnak, L-functions}, Talk at Berlin ICM, 1998.