第一余弦定理

任意三角形射影定理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：

设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

a＝b·cosC＋c·cosB，

b＝c·cosA＋a·cosC，

c＝a·cosB＋b·cosA。

注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且

BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB.同理可证其余。

证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA

=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB＋b·cosA.同理可证其它的。