二体问题

二体问题

two-body problem

天体力学中的一个最基本的近似模型[1]。研究两个可以视为质点的天体在其相互之间的万有引力作用下的动力学问题。二体问题是各类天体真实运动的第一次近似结果，是研究天体精确运动的理论基础，也是天体力学中的一个基本问题，它是迄今为止唯一能彻底求解的天体力学问题，因此它具有很重要的意义。现已证明，在万有引力作用下，二体问题的运动方程是可以严格解出的。两天体中的任何一个将沿圆锥曲线轨道绕另一个运动。至于运行轨道究竟是圆锥曲线中的哪一种，主要由两天体的质量、相对位置和相对运动的速度决定。若一天体相对于另一天体连线的切向运动速度为v，在v不是很大的通常情况下，这时两天体互相绕转的轨道是圆锥曲线中的椭圆（圆是其中的一个特例）；而当v足够大时，这时相对运动的轨道就可能是圆锥曲线中的抛物线或双曲线。彗星相对于太阳的运动以及人造天体相对于某中心天体运动时，在一定的条件下都会出现沿抛物线或双曲线轨道运行的情况。

二体碰撞时间计算：

（把直线运动看成是椭圆的退化 用开普勒第三定律，并引入折合质量，即可解决）

T^2=4π^2a^3/GM

把直线看做椭圆的退化，半长轴即为a=距离的1半

碰撞所须的时间为T/2

下面给出上面公式的证明：

问题：两个相对静止的物体（可以看成是质点的物理）的距离为r0，质量分别为m1和m2，仅靠引力的作用下相撞所需要的时间。

解答：

以m2相对于m1的方向为正方向，把这两个物体看成一个系统，因为它们不受外力，所以这两个物体在运动过程中动量守恒，在任一时刻，有

m1v1+m2v2=0 (1)

由(1)得

v1=-m2/m1*v2 (2)

由(2)可知在任何时刻，v1和v2的比值相等，因此这两个物体由静止到碰撞的瞬间的位移之比等于v1和v2的比:

s1/s2=v1/v2 (3)

s1+(-s2)=r0 (4)

由(2)(3)(4)解得m1的位移s1:

s1=m2/(m1+m2)*r0 (5)

假设两物理相撞于P点，同理可得任一时刻，m1与P的距离s11与m1m2的距离r满足：

s11=m2/(m2+m1)*r (6)

以两物体相距无限远时他们的引力势能为0，那么相距为r时引力势能为

E=∫(Gm1m2/r^2,+∞,r0)dr=-Gm1m2/r (7)

因此，在任一时刻，m1和m2的动能之和Ek满足：

Ek=-Gm1m2/r0-(-Gm1m2/r)=1/2m1v1^2+1/2m2v2^2 (8)

由(1)(6)(8)解得在任一时刻m1的瞬时速度

v11=(2Gm2^3/(s11(m1+m2)^2)-2Gm2^2/(r0(m1+m2)))^(1/2) (9)

由(5)(9)得，m1到达P点与m2相撞所需要时间为：

t=∫((2Gm2^3/(s11(m1+m2)^2)-2Gm2^2/(r0(m1+m2)))^(-1/2),m2/(m1+m2)*r0)ds (10)

解(10)得

t=(π^2r0^3/(8G(m1+m2)))^(1/2) (11)

------------数学问题---------------

我这里简单说一说怎么解10

把原式子化为(a/x-b)^(-1/2)的形式

令u=(a-bx)^(1/2)

然后令w=(a^.5secytany)

然后积分

积到最后自己算了

提示：lntanarcsec0=π/2*i