反证法的实质
反证法就是去证明一个命题的逆否命题是正确的，这就证明了原命题。但是可能其逆否命题比较容易证明。
适用范围:证明一些命题,且正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显。
具体方法(E.G):
命题r=在C下,若A则B
反证:若A则￢B
证明￢B与A的矛盾
举例：欲证“若P则Q”为真命题，从否定其结论即“非Q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非Q”为假，即原命题为真，这样的证明方法称为反证法,
先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来。
【反证法】 间接论证的一种。先论证与原论题相矛盾的论题即反论题为假，然后根据排中律确定原论题为真。其论证过程可以表示如下：
[求证] A(原论题)
[证明] (1)设非A真(非A为反论题)
(2)如果非A，则B(B为由非A推出的论断)
(3)非B(已知)
(4)所以，并非非A(根据充分条件假言推理的否定后件式)
(5)所以，A(非非A=A)。
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例如，语言学工作者论证“语言的声音和它所表示的事物之间没有必然联系”这一论题时运用反证法论证如下：“声音和词所表示的事物之间并没有什么必然的联系，并非某一个声音必然表示某一个对象。声音和事物的结合假如有什么必然联系，世界上所有的语言中表示同一事物的词的声音就应当是相同的。既然世界上表示同一事物的词的声音各有不同，可见语言的声音和所表示的事物之间是没有必然联系的。”这一段论述的反证过程分析如下：
论题：语言的声音和所表示的事物之间没有必 然的联系(在开头提出，最后又做归结)
反论题：声音和事物的结合有必然联系。
设反论题为真，然后进行推导：“声音和事物的结合假如有什么必然联系，世界上所有的语言中表示同一事物的词的声音就应是相同的。”后件显然不能成立：“世界上表示同一事物的词的声音各有不同”。根据充分条件假言推理的否定式，否定后件就必然否定前件，从而证明反论题“声音和事物的结合有必然联系”是假的。然后根据排中律，证明原论题是真的。需要注意的是，反证法是通过先论证反论题假，然后由假推真，确定原论题真。因此反论题与原论题必须是矛盾关系，不能是反对关系。因为反对关系的判断可以同假，即从一个判断的假不能必然推出另一判断的真。
反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓"正难则反"。
一个反证法的范例
证明：素数有无穷多个。
这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德(Euclid of Alexandria，生活在亚历山大城,约前330～约前275,是古希腊最享有盛名的数学家)在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法：
假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=a1<a2<……<an.
此时，令N=a1*a2*……*an+1,那么所有的ai(i=1,2,……,n)显然都不是N的因子，那么有两个可能：或者N有另外的素数真因子，或者N本身就是一个素数，但是显然有N>ai(i=1,2……n).无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！
这个证明简短而又有力，充分体现了证明者的智慧，也体现出数学的概括性和美丽！
