简介正五胞体(Pentachoron，5-cell)，又作正四面体锥(hyperpyramid)，4-单形（4-simplex），是正多胞体中最简单的一个。
其施莱夫利符号是{3,3,3}，顶点图(Vertex figure)是正四面体，在正五胞体中每条棱上有三个正四面体
一般而言，它是正四面体的四维类比
三维投影当我们看一个三维的物体的时候，我们看见的是它的二维投影。同样的道理，正四面体
当四维生物看一个四维的物体的时候，它的眼中也会呈现一个三维的投影。不妨用我们的三维世界作为四维生物的“眼睛”，去表示一个多胞形的投影吧！正四面体投影我们都知道，在外面作一个正三角形，中心做一点向外面连线，就得到一个正四面体的投影，如右图，这也是当我们的眼睛正对着正四面体的一个顶点的时候看到的样子。正五胞体投影现在，我们继续类比，把正四面体的投影类比到正五胞体的三维投影上来：施莱格尔正投影
首先在外面做一个正四面体框架，然后找到它的几何中心定一个点，再将这个点向“外面”的四个点连上线，如右下图。
但看到这个图你可能不理解这是个什么东西，实际上这只是一个三维的投影（图片嘛，又要把这个三维投影再投影到二维上），正五胞体在我们这个三维世界上是不存在的，但是我们仍然可以去理解，理解四维空间的种种奇特之处。
右图确确实实是表现了正五胞体的三维投影，但实际上它不是平行投影来的，这种投影叫“施莱格尔投影”，是在它的外接球（四维的是外接一个“超球”）上取一点作的透视投影——这个施莱格尔投影的“内部”的那一点看上去比外面四个点明显要小一些。
算上“最外部”的那个四面体，正五胞体一共由五个正四面体组成，也就是有五个“胞”（cell，指组成高维多胞形的三维表面）（有球极投影的方法
点废话呵呵）之后我们就得到正五胞体的一些数据
胞(正四面体)数：5，面(正三角形)数：10，棱数：10，顶点数：5球极投影将一个多面体的表面不断膨胀，可以让它的所有表面变成球面。变成一个球后再将球面投影到无穷大的平面上，这就是二维球极投影(如图)
同样，四维的物体也可以通过球极投影把它的三维表面展现在三维上球极投影
。将正五胞体的三维表面不断向它的外部膨胀变成“超球”，再把超球的表面投影进平坦的三维空间。
右图就是正五胞体的三维球极投影，和施莱格尔投影一样，投影中心的那个点实际上比外面四个点要小一点。二维线架正投影四维的正五胞体可以不经过三维而直接投影到二维上，但只能表现一些点与线之间的连接关系，如下图二维线架正投影
。
实话说这个投影是怎么写入五个点的坐标投影得到的，不过这不重要，作为四维单形的正五胞体就是这么“简单”，作一个正五边形，每两点两两连线，这就是它的二维线架正投影（没错，是正的）
一个四维物体的二维正投影其实不止一种的，不同的投影用来抽象表现这个东西不同的特性，正五胞体的二维投影英文维基上有很多，但为了表现那些特性，或多或少都有几条线段重合，这里略去
二胞角多面体上有二面角，那多胞体自然有二胞角，所谓二胞角，就是两个立体的夹角——这个在四维几何学上经常用到。
对于的二胞角的求导是要用到四维解析几何慢慢求的，太麻烦，不妨就用类比法去求：
二维正单形是正三角形，它的“二边角”（也就是夹角）是60°，用反三角函数表示就是arccos1/2
三维正单形是正四面体，它的二面角约是70.53°，用反三角函数表示就是arccos1/3
那么作为四维正单形的正五胞体，它的二胞角用反三角函数表示就应该是arccos1/4，按按计算器就知道，arccos1/4≈75.52°
坐标坐标
正五胞体五个点的其中一种表示形式，不过这个就坐标来看，这个正五胞体的外接超球的半径却不是1——当然根据这个五个坐标重新写一个外接超球为1的十分容易。
截图摘自英文维基百科
向更高维类比——正单形(Simplex)点、线段、正三角形、正四面体、正五胞体……用这种方法一直类比下去，得到的所有东西集合在一起，就是正单形。单形的介绍单形(Simplex)，英文又作Simplexes或Simplices，看上去是Simple和Complex的混合，字面意思大概是简单的复杂(Simplicial Complex，*.*)，说白点就是复杂空间（高维空间）的简单的东东——可以说，一个单形的确是该空间中构造最简单的东西。正单形的定义在一个n维空间中找到n+1个点，使这些点满足每两个点距离相等，那么利用这些点就可以得到一个n维正单形(n-simplex)
通俗地说，正三角形就是二维正单形，正四面体就是三维正单形，正五胞体就是四维正单形。
需要说一下，这个“单形”可不是王朝百科上的“晶体单形”，很多网站和网友（包括视频“教你认识四维空间”）所说的单形指的是四维的单形——五胞体，这里需要指正一下。单形应该
是一个集合。正单形的二维投影右图是前二十维正单形的二维投影，可以说极其简单，截图摘自维基百科。数据根据前四维单形（点、线段、正三角形、正四面体、正五胞体）的各维度的数据，可以推导到下表的这些数据。
从左到右依次是该单形的顶点数、棱数、（三角形）面数、（四面体）胞数、超胞（四维面）数、五维面数……
0-simplex：1
1-simplex：21
2-simplex：331
3-simplex：4641
4-simplex：5 101051
5-simplex：6 15201561
6-simplex：7 213535 2171
7-simplex：8 285670 562881
8-simplex：9 3684 126 126843691
9-simplex： 10 45 120 210 252 210 12045 101
10-simplex：11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
似曾相识吧，这个数列就是杨辉三角，不过最左边少了一行1（其实这样“1”是存在的，属于负一维产物）正单形坐标正单形的坐标很难算（详细坐标英文维基上有），不过如果把它放到高一维的话会简单很多，
例如把一个正三角形放到三维，则它的三点坐标可以是(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)，
同样地一个正四面体放到四维后四个顶点可以是(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)
如此类推。
