斯特林公式在理论和应用上都具有重要的价值，对于概率论的发展也有着重大的意义．在数学分析中，大多都是利用Г函数、级数和含参变量的积分等知识进行证明或推导，很为繁琐冗长．近年来，一些国内外学者利用概率论中的指数分布、泊松分布、X^2分布证之。
目录
斯特林公式的形式证明
斯特林公式的形式
[1]
或更精确的
证明令a(n)=n! / [ n^(n+1/2) * e^(-n) ]
则a(n) / a(n+1) = (n+1)^(n+3/2) / [ n^(n+1/2) * (n+1) * e ]
=(n+1)^(n+1/2) / [ n^(n+1/2) * e]
=(1+1/n)^n * (1+1/n)^1/2 *1/e
当n→∞时,(1+1/n)^n→e,(1+1/n)^1/2→1
即lim(n→∞) a(n)/a(n+1)=1
所以lim(n→∞)a(n) 存在
设A=lim(n→∞)a(n)
A=lim(n→∞)n! / [ n^(n+1/2) * e^(-n) ]
利用Wallis公式,π/2 = lim(n→∞)[ (2n)!! / (2n-1)!! ]^2 / (2n+1)
π/2 = lim(n→∞)[ (2n)!! / (2n-1)!! ]^2 / (2n+1)
=lim(n→∞)[ (2n)!! * (2n)!! / (2n)! ]^2 / (2n+1)
=lim(n→∞) 2^(4n) [ (n!)^2 / (2n)! ]^2 / (2n+1)
=lim(n→∞) 2^(4n) [ (A * n^(n+1/2) * e^(-n) )^2 / (A * (2n)^(2n+1/2) * e^(-2n) )]^2 / (2n+1)
=lim(n→∞) 2^(4n) [ 2^(-2n-1/2) * A * √n ]^2 / (2n+1)
=lim(n→∞) 2^(4n) * A^2 * 2^(-4n-1) * n/(2n+1)
=A^2 / 4
所以A=√(2π)
lim(n→∞)n! / [ n^(n+1/2) * e^(-n) ] = √(2π)
即lim(n→∞) √(2πn) * n^n * e^(-n) / n! = 1