Simulate Anneal Arithmetic (SAA,模拟退火算法)
模拟退火算法
模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
模拟退火算法起源于物理退火。
物理退火过程：
（1） 加温过程
（2） 等温过程
（3） 冷却过程
1 . 模拟退火算法的模型
模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
模拟退火的基本思想:
(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L
(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：
(3) 产生新解S′
(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数
(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.
(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。
算法对应动态演示图：
模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。
第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。
2 模拟退火算法的简单应用
作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。
求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：
解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n)
目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数：
我们要求此代价函数的最小值。
新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k (w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)
变为：
(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).
如果是k>m，则将
(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)
变为：
(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).
上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。
也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。
代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：
根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：
Procedure TSPSA:
begin
init-of-T; { T为初始温度}
S={1，……，n}; {S为初始值}
termination=false;
while termination=false
begin
for i=1 to L do
begin
generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}
Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])
S=S′;
IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
termination=true;
End;
T_lower;
End;
End
模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。
3 模拟退火算法的参数控制问题
模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：
(1) 温度T的初始值设置问题。
温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。
(2) 退火速度问题。
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。
(3) 温度管理问题。
温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：
T(t+1)＝k×T(t)
式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数
4、模拟退火算法的优缺点
优点：计算过程简单，通用，鲁棒性强，适用于并行处理，可用于求解复杂的非线性优化问题。
缺点：收敛速度慢，执行时间长，算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点。
经典模拟退火算法的缺点：
(1)如果降温过程足够缓慢，多得到的解的性能会比较好，但与此相对的是收敛速度太慢;
(2)如果降温过程过快，很可能得不到全局最优解。
模拟退火算法的改进
(1) 设计合适的状态产生函数，使其根据搜索进程的需要
表现出状态的全空间分散性或局部区域性。
(2) 设计高效的退火策略。
(3) 避免状态的迂回搜索。
(4) 采用并行搜索结构。
(5) 为避免陷入局部极小，改进对温度的控制方式
(6) 选择合适的初始状态。
(7) 设计合适的算法终止准则。
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进。
主要的改进方式包括：
(1) 增加升温或重升温过程。在算法进程的适当时机，将温度适当提高，从而可激活各状态的接受概率，以调整搜索进程中的当前状态，避免算法在局部极小解处停滞不前。
(2) 增加记忆功能。为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解，可通过增加存储环节，将一些在这之前好的态记忆下来。
(3) 增加补充搜索过程。即在退火过程结束后，以搜索到的最优解为初始状态，再次执行模拟退火过程或局部性搜索。
(4) 对每一当前状态，采用多次搜索策略，以概率接受区域内的最优状态，而非标准SA的单次比较方式。
(5) 结合其他搜索机制的算法，如遗传算法、混沌搜索等。
(6)上述各方法的综合应用。
