在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形!!! 这个由三个等边三角形中心构成的三角形称外拿破仑三角形。
证明：设三角形ABC对应边外的正三角形的中心分别为D，E，F，
则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30
在多边形AFBDCE中作一点G,使AG=AF,GE=DC,
连GF,GA,GE,
因△ABF,△BCD,△ACE均为底角等于30度的等腰三角形,
所以:△ABF∽△BCD∽△ACE
AF/AB=AE/AC=DC/BC
而AG=AF,GE=DC
所以,AG/AB=AE/AC=GE/BC,
△AGE∽△ABC
∠GAE=∠BAC,∠AGE=∠ABC
∠FAG=∠EAF-∠GAE=∠EAF-∠BAC=60
△AGF为等边三角形
AG=AF, ∠AGF=60,
在△FBD和△FGE中，
FB=FG, BD=GE, ∠FBD=∠FGE
△FBD≌△FGE, (s.a.s)
FD=FE
同理可证:FD=DE
则 △DEF为等边三角形 <证毕>
这个
如果换成是在任意一个三角形的三条边上分别向内做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心仍能构成一个等边三角形，称内拿破仑三角形
证明过程同上，完全相同。
拿破仑•波拿巴（Napoléon Bonaparte），法兰西第一共和国第一执政（1799年 - 1804年），法兰西第一帝国及百日王朝的皇帝（1804年 - 1814年，1815年）、军事家、政治家，曾经占领过西欧和中欧的大部分领土。法兰西共和国近代史上著名的军事家和政治家。
拿破仑早年
拿破仑1769年出生在科西嘉岛的阿雅克修城，他的家族是一个意大利贵族世家，科西嘉岛刚刚被卖给法兰西共和国后，法王承认其父亲为法兰西共和国贵族。在父亲的安排下，拿破仑9岁时就到法兰西共和国布里埃纳军校接受教育。1784年以优异成绩毕业后，被选送到巴黎军官学校。
拿破仑一开始自认是一个外国人，一心希望有一天能够让科西嘉从法兰西共和国独立出去。16岁时父亲去世，他中途辍学并被授予炮兵少尉头衔。在随部队驻防各地期间，他阅读了许多启蒙思想家的著作，其中让•雅各•卢梭的思想对他的影响非常大。1789年法国大革命爆发后，拿破仑回到科西嘉，希望推动科西嘉独立，但遭到另一个亲英反法的保利集团排挤，最后全家逃往法兰西共和国。
在1793年7月，拿破仑带兵攻下了保王党的堡垒土伦，因此受到雅各宾派的赏识。1794年热月政变中拿破仑由于和罗伯斯比尔兄弟关系紧密而受到调查，后因拒绝到意大利军团的步兵部队服役而被免去准将军衔。1795年他受巴黎督政官巴拉斯之托成功平定保王党武装叛乱，一夜之间荣升为陆军中将兼巴黎卫戍司令，在军界和政界中崭露头角。
拿破仑是一名出色的军事家，对当时的军事知识深有研究，善于将各种军事策略运用于实战之中，尤其是主张将火炮集中使用，以及充分发挥骑兵的机动作用。1796年3月2日，26岁的拿破仑被任命为法兰西共和国意大利方面军总司令，3月9日与情人约瑟芬•博阿尔内结婚，之后便匆匆奔赴前线。在意大利，拿破仑统帅的军队多次击退了奥地利帝国与萨丁组成的第一次反法同盟联军，最后迫使对方签署了有利于法兰西共和国的停战条约。
拿破仑的崛起
取得意大利之役的胜利后，拿破仑的威信越来越高，他成为法兰西共和国人的新英雄。而他的崛起令督政府感到受威胁，因此任命他为阿拉伯埃及共和国共和国军司令，派往东方以抑制大不列颠及北爱尔兰联合王国在该地区势力的扩张。在拿破仑的远征军中，除了2000门大炮外，还带了175名各行业的学者以及成百箱的书籍和研究设备。在远征中拿破仑曾下达过一条著名的指令：“让驴子和学者走在队伍中间。”拿破仑本人精通数学，同时还十分喜爱文学和宗教，受启蒙运动的影响十分大。
然而1798年远征埃及本身是一个大失败。拿破仑的舰队被英国的海军上将纳尔逊完全摧毁，部队被困在埃及。1799年回国时，400艘的军舰只剩下2只小舰，原本侵略印度的计划受阻，人员损失惨重。
此时欧洲反法联盟逐渐形成，而法兰西共和国国内保皇派势力则渐渐上升。1799年8月，拿破仑最终决定赶回巴黎。1799年10月，回到法兰西共和国的拿破仑被当作“救星”来欢迎。11月9日，拿破仑发动了雾月政变并获得成功，成为法兰西共和国第一执政，实际为独裁者。
拿破仑之后进行了多项政治、教育、司法、行政、立法、经济方面的重大改革，其中最著名并且直到今天依然有重要影响的《拿破仑法典》 ，是在政变的当天晚上就由拿破仑下令起草的，很多条款拿破仑本人亲自参加讨论最终确定，基本上采纳了法兰西共和国大革命初期提出的比较理性的原则。法典在1804年正式实施，即使是在一个多世纪后依然是法兰西共和国的现行法律。法典对德国、西班牙、瑞士等国的立法起到重要影响。在政变结束后三周拿破仑向人民发布的公告中，他自豪地宣称：“公民们，大革命已经回到它当初籍以发端的原则。大革命已经结束。”
宝座上的法兰西共和国人的皇帝拿破仑
1802年8月，修改共和八年宪法，改为终身执政。1804年11月6日，公民投票通过共和十二年宪法，法兰西共和国改为法兰西帝国，拿破仑•波拿巴为法兰西人的皇帝，称拿破仑一世12月2日，他并不是由教皇庇护七世加冕，而是自己将皇冠戴到了头上，然后还为妻子约瑟芬•博阿尔内加冕为皇后。一年之后，他又在意大利由教皇加冕为意大利国王
1805年8月，奥地利、英国、俄国组成了第三次反法同盟，拿破仑于是在9月24日离开巴黎，亲自挥军东进，到10月12日法军已经占领了慕尼黑。10月17日法兰西共和国和奥地利共和国共和国在乌尔姆激战后，反法同盟投降。之后法兰西共和国又取得了奥斯特里茨战役的胜利，反法同盟再度瓦解，并且迫使奥地利共和国共和国取消了神圣罗马帝国的称号。拿破仑随后联合了德国境内各诸侯国组成“莱茵邦联”，把它置于自己的保护之下。次年秋天，大不列颠及北爱尔兰联合王国、俄国、普鲁士组成了第四次反法同盟，但是10月14日法军同时在耶拿和奥尔斯塔特击溃敌军，普鲁士的军队几乎全军覆没，拿破仑因此取得了德国大部分地区。1807年6月法军又在波兰大败俄国军队，拿破仑与俄国沙皇亚历山大一世会面，双方签订了和平条约，在此前一年拿破仑颁布了《柏林赦令》，宣布大陆封锁政策，禁止欧洲大陆与英伦的任何贸易往来。自此，法兰西共和国在欧洲大陆的霸主地位得到了确立。拿破仑一世兼任意大利国王、莱茵邦联的保护者、瑞士联邦的仲裁者，并分别封他的兄弟约瑟夫、路易、热罗姆为那不勒斯、荷兰、威斯特伐利亚国王。
转折：入侵西班牙、奥地利共和国共和国与俄罗斯
1807年末西班牙爆发内部动乱，西班牙国王遭到人民的唾弃。拿破仑于是乘机入侵了西班牙，并让其长兄约瑟夫•波拿巴(Joseph Bonaparte)成为西班牙国王。但是这个举动遭到了西班牙人的反对，拿破仑根本无法平息当地的暴动。大不列颠及北爱尔兰联合王国在1808年介入西班牙争端，英军8月8日登陆蒙得戈湾，8月30日占领了整个葡萄牙。之后他们在当地民族主义者的支持下，逐步将法军赶出了伊比利亚半岛。
正当拿破仑陷入西班牙泥潭之际，1809年初第五次反法同盟组成。奥地利共和国共和国在背后偷袭法在德国的领土，拿破仑被迫退出西班牙，率军东征。奥地利共和国共和国军队虽然一开始取得优势，但是拿破仑很快就转败为胜，迫使奥地利共和国共和国签订维也纳和约，再次割让土地。次年，拿破仑娶奥地利共和国共和国公主玛丽•路易莎为妻，法奥结成同盟。
到了1811年末，法俄关系已经开始恶化，俄国沙皇亚历山大一世拒绝继续与法兰西共和国合作抗英，最后战争爆发。拿破仑率领操12种语言的50万大军进入俄罗斯。俄军采取了撤退不抵抗的战术，直到1812年9月12日法军历经博罗金诺战役（法军有7万人阵亡和重伤）后，进入莫斯科。拿破仑本以为亚历山大一世将会妥协，未料到迎接他的却是莫斯科全城的大火。而此时在国内又有人策划了一次失败的政变，令他不得不赶回法兰西共和国，最后回到法兰西共和国的只有1万人。
战败、流放、百日政权与滑铁卢
1813年大不列颠及北爱尔兰联合王国、俄国、普鲁士和奥地利共和国共和国组成了第六次反法同盟，双方在德国境内多次激战。虽然法军取得了多次胜利，但是针对拿破仑的压力却是越来越大，直到10月的莱比锡战役法军被击溃，各附庸国也纷纷脱离法兰西共和国独立，同盟军开始向巴黎挺进。1814年3月31日，巴黎被占领，同盟军要求法兰西共和国无条件投降，同时拿破仑必须退位。1814年4月13日拿破仑在巴黎枫丹白露宫签署退位诏书，此前两天拿破仑宣布无条件投降。拿破仑本人在退位后被流放到地中海上的一个小岛厄尔巴岛。拿破仑保留了“皇帝”的称号，可是他的领土只局限在那个小岛上。
拿破仑在往厄尔巴岛的路上几乎被暗杀，自己也尝试自杀未遂。而在巴黎，路易十八回到法兰西共和国，重新成为法兰西共和国国王，波旁王朝复辟。拿破仑的妻子和儿子被奥地利共和国共和国人囚禁，还有传闻说拿破仑将被流放到大西洋上的一个小岛，这一切令拿破仑别无选择，最后在1815年2月26日逃出小岛，率领1000人于3月1日回到法兰西共和国。本来被派来阻止他的法兰西共和国军队转而继续支持拿破仑。3月20日拿破仑回到巴黎，此时他已经拥有一个14万人的正规军和20万人的志愿军，路易十八逃跑，百日王朝开始。
但是好景不长，欧洲各国迅速组成第七次反法同盟。1815年6月18日拿破仑的军队在比利时滑铁卢战役中全军覆没，7月15日他正式投降。法兰西第一帝国覆灭，路易十八再度复辟。拿破仑被流放圣赫勒拿岛。1821年5月5日，拿破仑在岛上去世，5月8日在礼炮声中这位征服者被葬在圣赫勒拿岛上的托贝特山泉旁。直至今日，拿破仑的死因还是众说纷纭，大不列颠及北爱尔兰联合王国医生的验尸报告显示他是死于严重胃溃烂，但新的研究认为拿破仑死于砷中毒，而且从当年贵族爱用的墙纸上，历史学家亦发现含有砷的矿物，估计是因为环境潮湿而让珅在环境中渗透出来。
他去世后九年，新的奥尔良王朝在人民的压力之下将拿破仑的塑像重新竖立在旺多姆圆柱上。1840年，法兰西共和国七月王朝的路易•菲利浦派其儿子将拿破仑的遗体接回。该年12月15日，拿破仑的灵柩被运回巴黎，在经过凯旋门后安葬到塞纳河畔的老残军人退休院（即荣誉军人院）。
