矩阵的秩

王朝百科·作者佚名  2009-12-14
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矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。

定义1. 在m´n矩阵A中,任意决定k行和k列 (1£k£min{m,n}) 交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为A的一个k阶子式。

例如,在阶梯形矩阵 中,选定1,3行和3,4列,它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。

定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A

的秩,记作rA,或rankA。

特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得:

若A中至少有一个r阶子式不等于零,且在r<min(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)&sup1; 0;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det(A)=0。

由行列式的性质1(1.5[4])知,矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

例1. 计算下面矩阵的秩,

而A的所有的三阶子式,或有一行为零;或有两行成比例,因而所

有的三阶子式全为零,所以rA=2。

矩阵的秩

引理 设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n,则A的列秩,秩都等于n。

定理 矩阵的行秩,列秩,秩都相等。

定理 初等变换不改变矩阵的秩。

定理 矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

矩阵经过运算后秩的变化规律(1)转置后秩不变

(2)r(A)<min(m,n),A是m*n型矩阵

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 -> A=0

(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

(6)r(A*B)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A)+r(B)-n<=r(A*B)

特别的:A:m*n,B:n*s,A*B=0 -> r(A)+r(B)<=n

(8)P,Q满秩方阵(秩等于维数)->r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)

 
 
 
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