Hilbert的《几何基础》的五组公理之一：
平行公理1.欧氏几何的平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
任何两点都是平行的，任何一点与任何一平面都是平行的。
2.罗氏几何（罗巴切夫斯基几何）的平行公理：过已知直线外一点至少存在两条直线与已知直线平行。
3.黎曼几何的平行公理：过已知直线外一点没有一条直线与已知直线平行。
4.同位角相等，两直线平行。
平行公理的推论如果a‖b,a‖c,那么b‖c
证明:假使b、c不平行
则b、c交于一点O
又因为a‖b,a‖c
所以过O有b、c两条直线平行于a
这就与平行公理矛盾
所以假使不成立
所以b‖c
由同位角相等，两直线平行，可推出：
内错角相等，两直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
因为 a‖b,a‖c,
所以 b‖c （平行公理）
