Eudoxus

Eudoxus（约-408～-355年），希腊天文学家及数学家，以同心球理论呈现行星的复杂运动，以穷尽法研究面积与体积，创比例论解决不可共度的问题，使希腊的数学完全转向几何。 Eudoxus 生于小亚细亚爱琴海岸的 Cnidus。长大後到雅典柏拉图学院求学。由于家贫，只能找到雅典外港 Piraeus 较便宜的住家，每天上学来回共要走16公里路。毕业後，他到埃及再学天文，然後转往比家乡更北的海岸地方 Cyzicus，建立自己的学院。 柏拉图从美学的观点认定行星轨道一定是个完美的圆，但实际的观察又不完全如此。Eudoxus 提出同心球理论来拯救老师柏拉图的观点：对太阳系的每个星球而言，都有三个或四个想像中的同心球（这种同心球指的都是球面）与之相应，他们各绕一不同的转轴作等速运动，但都是以地球（想成一点）为其共同的中心点。这个星球（想成一点）在最里层同心球（相对于转轴）的赤道上，最里层同心球的转轴延伸而附著於第二里层的同心球上，因此第二同心球的转动影响第一转轴，也因此影响该星球的运动；同样地，第二转轴附著在第三同心球上……。Eudoxus 对每一行星选择适当大小的同心球，转轴及旋转速度，就可以呈现该行星的实际运动。如此，完美的圆还是占著理论的中心地位。 Eudoxus 认为圆可视为其内接正多边形的极限，而两圆同边数之内接正多边形的面积比等于半径平方比，因此做为极限的两圆，其面积比也要等于半径平方比。而圆之视为其内接正多边形的极限是说，圆与内接正多边形之间的面积差，会随著边数的一再倍增，而一再缩减一半以上。这样的观点就是典型的穷尽法。用穷尽法，Eudoxus 也证明了柱与同底等高之锥两者的体积比为 3：1。Eudoxus 之後，像 Archimedes 等希腊数学家也用穷尽法研究面积与体积。 在 Eudoxus 之前的毕氏学派认为任何两长度都是可共度的，亦即两者相比是个有理数。然而 的出现（等腰直角三角形斜边与一边之比），使几何上的比例问题成了难题，成了禁忌，希腊的数学产生了危机。 比例论的目的在探讨两个比例的大小或相等关系。比例论相当复杂，不过用现代的语言来说，大略如下：两比例之不相等，与「两者之间必夹有有理数」是相当的；相等，则与「两者要同大（或同小）於任一给定的有理数」是相当的。 比例论出现後，重为几何安下基石；不但如此，几何学反过来可用以表示数及解释其间的关系，如 Euclid《原本》第二卷的几何式代数，以及第七卷到第九卷的数论（第五卷为比例论本身）。可以说，Eudoxus 以後，几何学变成西方数学的主流，其後再经 Euclid 的整理，更成为西方数学的传统。 比例论虽然解决了不可共度的问题，但却不承认两量之比是个数。希腊的数学家一直缺乏对无理数有确切的认识，以及明快的处理，因此，在数与代数方面是有缺陷的。

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