三角形中位线定理

王朝百科·作者佚名  2010-01-05
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定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半 。

三角形两边中点的连线(中位线)平行于第三边,且等于第三边的一半。

证明如图,已知△ABC中,D,E分别是AB,AC两边中点。

求证DE平行且等于BC/2

法一:

过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。

∵CF∥AD

∴∠A=∠ACF

∵AE=CE、∠AED=∠CEF

∴△ADE≌△CFE

∴DE=EF=DF/2、AD=CF

∵AD=BD

∴BD=CF

∴BCFD是平行四边形

∴DF∥BC且DF=BC

∴DE=BC/2

∴三角形的中位线定理成立.

法二:利用相似证

∵D,E分别是AB,AC两边中点

∴AD=AB/2 AE=AC/2

∴AD/AE=AB/AC

又∵∠A=∠A

∴△ADE∽△ABC

∴DE/BC=AD/AB=1/2

∴∠ADE=∠ABC

∴DF∥BC且DE=BC/2

三角形中位线定理的逆定理逆定理一:

如图DE//BC,DE=BC/2,则D是AB的中点,E是AC的中点。

逆定理二:

如图D是AB的中点,DE//BC,则E是AC的中点,DE=BC/2

【证法①】

取AC中点G ,联结DG

则DG是三角形ABC的中位线

∴DG∥BC

又∵DE∥BC

∴DF和DE重合(过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线重合)

图形

 
 
 
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