设有数列An,Bn 若Bn>0递增且有n-->+∞时Bn-->+∞(以下lim均表示lim(n-->∞))
则有:
若lim(An+1-An)/(Bn+1-Bn)=L(L可以是0,有限数,或+∞(-∞))
==>lim(An)/(Bn)=L
证明如下:
1)当L=0时;
由条件得:
对任意e>0 存在N使 当n>N时有:
|(An+1-An)/(Bn+1-Bn)-L|<e,即|(An+1-An)/(Bn+1-Bn)|<e;
又Bn>0递增且有n-->+∞时Bn-->+∞,
原式化为:|An+1-An|<e*(Bn+1-Bn)......(1);
固定e,则存在N1>=N,当n>N1时,有
-e*BN+|AN|<e*Bn
即|AN|<e*(BN+Bn) ..........(2)重要!!!!!
|An|<=|An-An-1|+|An-1-An-2|+....+|AN+1-AN|+|AN|,代入(1)式,得:
<=e*(Bn-Bn-1)+.....+e(BN+1-BN)+|AN|,代入(2)式,得:
<e*(Bn-BN)+e*(Bn+BN)
即|An|<2e*Bn
故|(An)/(Bn)-0|<2e
由数列定义知lim(An)/(Bn)=0
2)当L=C (C!=0)时
即有lim(An+1-An)/(Bn+1-Bn)=C,
令Cn=An-C*Bn,
显然有lim(Cn+1-Cn)/(Bn+1-Bn)=0,
由1)得:
故lim(Cn)/(Bn)=0,
即有lim(An)/(Bn)=C,
3)当L=+∞(L=-∞时类证)时
存在N,当n>N时
有(An+1-An)/(Bn+1-Bn)>1
得出An>Bn>0,且满足An>0递增且有n-->+∞时An-->+∞
所以lim(Bn+1-Bn)/(An+1-An)=0+ (0+即从正数趋近于0)
由1)得:
lim(Bn)/(An)=0+
故lim(An)/(Bn)=+∞
证毕
PS:手都打软了 问了N久都没有人会!!!!求人不如求己!!!!!
