(Γ-function)
定义Γ(z)为Γ(z)=lim(((1*2*3*…*）*（n^z)）/(z*(z+1)*(z+2)*…*(z+n-1)))(n→+∞)其中Γ(z)是亚纯函数,以0、-1、-2…为其单极点。当Re(z)>0时有Γ(z)＝∫(x^(z-1)*e^(-x))dx(0,+∞),式中的积分移为第二类欧拉积分,有时就用这个积分式来定义Γ函数。Γ函数满足递推公式: Γ(z+1)=zΓ(z),特例,当z=n∈N时有Γ(n+1)=n!。Γ函数还满足余之公式: Γ(z)Γ(1-z)=π/sin(πz); Γ(0.5)=√π。
Γ函数的渐近表达式: Γ(z)＝√(2π)*[z^(z-1/2)]*e^(-z)*{1+z^(-1)/12+z^(-2)/288-139*z^(-3)/5184…}(|argz|<π,|z|→+∞)或Γ(z)=√(2π)*(z^(z-1/2))*e^(-z)*(1+0*(1/|z|))令z=n+1便有n!≈√(2π)*[n^(n+1/2)]*e^(-n)(n→+∞)。