一、 什么是分形？
1967年，美国的《科学》杂志上发表了一篇题为《英国的海岸线究竟有多长？》的论文。这篇论文对海岸线的本质作了独特的分析，以至当时的整个学术界为之震惊。这篇论文也成为了作者曼德布罗特（Mandelbrot）思想的转折点，分形的理论就从此萌芽并迅速发展起来。曼德布罗特，也成为了分形论的奠基人。
分形的涵义是什么呢？
我们查阅相关的图书，也找到一些严格的数学定义。但还是曼德布罗特本人提出的定义更简洁和容易让人接受：
”A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way”（如果一个图形的部分以某种方式与其整体本身相似，这个图形就称为分形。）
这就是分形的最基本定义。
从分形研究的进展看，近年来，又提出许多新的概念，其中包括，自仿射分形、自反演分形、递归分形、多重分形、胖分形。就我们现在所学的知识来说还无法研究。
二、 分形论的前景和应用
分形理论是一门新兴的横断学科，它给自然科学、社会科学、工程技术、文学艺术等极广泛的学科领域，提供了一般的科学方法和思考方式。就目前所知，它有很高程度的应用普遍性。这是因为，具有标度不变性的分形结构是现实世界普遍存在的一大类结构。此处结构的含义十分丰富，它不仅指研究对象的空间几何形态，而是一般地指其拓扑维数(几何维数)小于其测量维数的点集，如事件点的分布，能量点的分布，时间点的分布，过程点的分布，甚至可能是意识点、思维点的分布。
分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动（布朗运动），这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞（每秒钟多达十亿亿次）下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是 2，大大高于它的拓扑维数 1。
在某些电化学反应中，电极附近成绩的固态物质，以不规则的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物，不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分维。
自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗干可以分出不规则的枝杈，每个枝杈继续分为细杈……，至少有十几次分支的层次，可以用分形几何学去测量。
有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现存在从 1公里到1000公里的无标度区。小于 1公里的云朵，更受地形概貌影响，大于1000公里时，地球曲率开始起作用。大小两端都受到一定特征尺度的限制，中间有三个数量级的无标度区，这已经足够了。分形存在于这中间区域。
近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中，都实际测得了混沌吸引子，并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实内容的研究领域
