抽象群的一般概念设非空集合G和运算·满足下列四个条件：
（1）G上有一个二元运算。〔即对任意a、b∈G，有a•b∈G〕
（2）G中有单位元I。〔即对任意a∈G，有I•a＝a•I＝a〕
（3）G中的每个元素都有逆元。〔即对任意a∈G，存在a′ ∈G，有a•a′＝a′•a＝I〕
（4）G的乘法满足结合律。
那么(G，•)叫做一个群。
例题例题：设非空集合Z3表示这个数除以3后的余数，a◎b表示a+b除以3的余数，证明(Z3，◎)是一个群。
解：只要满足I～IV这4个条件即可。
Z3中只有3个元素：0，1，2
先列出乘法表：
◎ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
I：根据乘法表可以看出◎是一个二元运算。
II：根据乘法表得出0是运算◎的单位元。
III：根据乘法表得出0的逆元是0，1的逆元是2，2的逆元是1。
IV：容易证明(a◎b)◎c=a◎(b◎c)
所以(Z3，◎)是一个群
练习设非空集合K3表示这个数除以3后的小数部分的第一位，a◎b表示a+b除以3后的小数部分的第一位，证明(K3，◎)是一个群。
