层模型具有如下一些重要的性质,它们是后面进行推导必不可少的条件:(1)尺度间具有马尔可夫性质.随机场从上到下形成了马尔可夫链,即 Xi 的分布只依赖于 Xi,与其他更粗 糙的尺度无关,这是因为 Xi 已经包含了所有位于其上层的尺度所含有的信息.(2) 随机场像素的条件独立性.若 Xi 中像素的父节点已知,则 Xi 中的像素彼此独立.这一性质使我们不必再 考虑平面网格中相邻像素间的关系,而转为研究尺度间相邻像素(即父子节点)间的关系.(3) 设在给定 Xn 的情况下,Y 中的像素彼此独立.(4) 可分离性.若给定任一节点 xs,则以其各子节点为根的子树所对应的变量相互独立.
从只有一个节点的根到和图像大小一致的叶子节点,建立了完整的四叉树模型,各层间的马尔可夫链的因 果关系使我们可以由非迭代的推导过程快速计算出 X 的最大后验概率或后验边缘概率.
完整的四叉树模型也存在一些问题.(1) 因概率值过小,计算机的精度难以保障而出现下溢,若层次多,这一 问题更为突出.虽然可以通过取对数的方法将接近于 0 的小值转换成大的负值,但若层次过多、概率值过小,该 方法也难以奏效,且为了这些转换所采用的技巧又增加了不少计算量.(2) 当图像较大而导致层次较多时,逐层 的计 算甚 为繁琐 下 溢 现 象肯定 会出 现 , 存储中 间变 量也 会占 用大 量空 间 , 在时 间空间 上都 有更 多的 开销 .
(3) 分层模型存在块效应,即区域边界可能出现跳跃,因为在该模型中,同一层随机场中相邻的像素不一定有同 一个父节点,同一层的相邻像素间又没有交互,从而可能出现边界不连续的现象.
为了解决这些问题,我们提出一种新的分层 MRF 模型——半树模型,其结构和图1 5类似,仍然是四叉树,
只 是层数比完整的四叉树大大减少,相当于将完整的四叉树截为两部分,只取下面的这部分.模型最下层仍和图像 大小一致,但最上层则不止一个节点.完整的四叉树模型所具有的性质完全适用于半树模型,不同点仅在于最上层,完整的树模型从上到下构成 了完整的因果依赖性,而半树模型的层间因果关系被截断,该层节点的父节点及祖先均被删去,因此该层中的各 节点不具有条件独立性,即不满足上述的性质 2,因而对这一层转为考虑层内相邻节点间的关系.半树模型和完 整的树模型相比,层次减少了许多,这样,层次间的信息传递快了,概率值也不会因为过多层次的逐层计算而小 到出现下溢.但第 0 层带来了新的问题,我们必须得考虑节点间的交互,才能得出正确的推导结果,也正是因为在 第 0 层考虑了相邻节点间的影响,使得该模型的块现象要好于完整的树模型.对于层次数的选取,我们认为不宜多,太多则达不到简化模型的目的,其优势体现不出来,但也不能太少,因 为第 0 层的概率计算仍然要采用非迭代的算法,层数少表明第 0 层的节点数仍较多,计算费时,所以在实验中将 层数取为完整层次数的一半或一半稍少.
3半树模型的 MPM 算法
图像分割即已知观测图像 y,估计 X 的配置,采用贝叶斯估计器,可由一个优化问题来表示:
?x = arg min [E C ( x, x )′ | Y = y] ,x其中代价函数 C 给出了真实配置为 x 而实际分割结果为 x′时的代价.在已知 y 的情况下,最小化这一代价的期 望,从而得到最佳的分割.代价函数取法不同得到了不同的估计器,若 C(x,x′)=1?δ(x,x′)(当 x=x′时δ(x,x′)=1,否则 δ(x,x′)=0)得到的是 MAP 估计器,它意味着 x 和 x′只要在一个像素处有不同,则代价为 1,对误分类的惩罚比较重,汪西莉 等:一种分层马尔可夫图像模型及其推导算法
而在实际中存在一些误分类是完全允许的.若将半树模型的 MPM 算法记为 HT-MPM,它分为向上算法和向下算法两步,向上算法自下而上根据式(2)、 式 (3)逐层计 算P(yd(s)|xs)和 P(xs,xρ(s)|yd(s)), 对最下层 P(yd(s)|xs)=P(ys|xs). 向下算法自上 而下根据 式 (1)逐层计算 P(xs|y),对最上层由 P(x0|y)采样 x0(1),…,x0(n),
