哈密顿力学

哈密尔顿力学是哈密尔顿于1833年建立的经典力学的重新表述。它由拉格朗日力学演变而来，那是经典力学的另一表述，由拉格朗日于1788年建立。但它可以使用辛空间不依赖于拉格朗日力学表述。关于这点请参看其数学表述。

适合用哈密顿力学表述的动力系统称为哈密顿系统。

哈密顿系统可以理解为时间R上的一个纤维丛E,其纤维Et, t ∈ R是位置空间。拉格朗日量则是E上的jet丛(射流丛)J上的函数；取拉格朗日量的纤维内的勒让德变换就产生了一个时间上的对偶丛的函数，其在t的纤维是余切空间T*Et，它有一个自然的辛形式，而这个函数就是哈密顿量。

任何辛流形上的光滑实值函数H可以用来定义一个哈密顿系统。函数H称为哈密顿量或者能量函数。该辛流形则称为相空间。哈密顿量在辛流形上导出一个特殊的向量场，称为辛向量场。

该辛向量场，称为哈密顿向量场，导出一个流形上的哈密顿流。该向量场的一个积分曲线是一个流形的变换的单参数族；该曲线的参数通常称为时间。该时间的演变由辛同胚给出。根据刘维尔定理每个辛同胚保持相空间的体积形式不变。由哈密顿流到处的辛同胚的族通常称为哈密顿系统的哈密顿力学。

哈密顿向量场也导出一个特殊的操作，泊松括号。泊松括号作用于辛流形上的函数，给了流形上的函数空间一个李代数的结构。

当余度量是退化的时，它不是可逆的。在这个情况下，这不是一个黎曼流形，因为它没有一个度量。但是，哈密顿量依然存在。这个情况下，在流形Q的每一点q余度量是退化的，因此余度量的阶小于流行Q的维度，因而是一个亚黎曼流形。

这种情况下的哈密顿量称为亚黎曼哈密顿量。每个这样的哈密顿量唯一的决定余度量，反过来也是一样。这意味着每个亚黎曼流形由其亚黎曼哈密顿量唯一的决定，而其逆命题也为真：每个亚黎曼流形有唯一的亚黎曼哈密顿量。亚黎曼测地线的存在性由Chow-Rashevskii定理给出。

哈密尔顿系统可以几种方式推广。如果不仅简单的利用辛流形上的光滑函数的结合代数，哈密尔顿系统可以用更一般的交换酉实泊松代数表述。一个状态是一个（装备了恰当的拓扑结构的）泊松代数上的连续线形泛函，使得对于代数中的每个元素A，A2映射到非负实数。

进一步的推广由Nambu动力学给出.