若n个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξ2i构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布，其中参数 n 称为自由度，自由度不同就是另一个χ2分布，正如正态分布中均值或方差不同就是另一个正态分布一样。χ2分布的密度函数比较复杂这里就不给出了，同学们也不用去记了。卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，这也正反映了前面所说的正态分布的重要性。
对于任意正整数k,自由度为k的卡方分布是一个随机变量X的机率分布
在这个式子中，Z1, ...,Zk是相互独立的常态变量，且每一个变量的数学平均值都为0，方差为1。也就是说X是标准常态变量的平方和。这种分布一般被记做
χ2分布在一象限内，呈正偏态，随着参数 n 的增大，χ2分布趋近于正态分布。
χ2分布的均值为自由度 n，记为 Eχ2=n，这里符号“E”表示对随机变量求均值；χ2分布的方差为2倍的自由度(2n)，记为 Dχ2=2n，这里符号“D”表示对随机变量求方差。从χ2分布的均值与方差可以看出，随着自由度n的增大，χ2分布向正无穷方向延伸（因为均值n越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差2n越来越大）。
χ2分布具有可加性：若有K个服从χ2分布且相互独立的随机变量，则它们之和仍是χ2分布，新的χ2分布的自由度为原来K个χ2分布自由度之和。表示为：
χ2分布是连续分布，但有些离散分布也服从χ2分布，尤其在次数统计上非常广泛。
χ2分布概率表
χ2分布不象正态分布那样将所有正态分布的查表都转化为标准正态分布去查，在χ2分布中得对每个分布编制相应的概率值，这通过χ2分布表中列出不同的自由度来表示，在χ2分布表中还需要如标准正态分布表中给出不同 P 值一样，列出概率值，只不过这里的概率值是χ2值以上χ2分布曲线以下的概率。由于χ2分布概率表中要列出很多χ2分布的概率值，所以χ2分布中所给出的 P 值就不象标准正态分布中那样给出了400个不同的 P 值，而只给出了有代表性的13个值，因此χ2分布概率表的精度就更差，不过给出了常用的几个值，足够在实际中使用了。
查χ2分布概率表时，按自由度及相应的概率去找到对应的χ2值。如上图所示的单侧概率χ20.05(7)=14.1的查表方法就是，在第一列找到自由度7这一行，在第一行中找到概率0.05这一列，行列的交叉处即是14.1。
表中所给值直接只能查单侧概率值，可以变化一下来查双侧概率值。例如，要在自由度为章 7 的卡方分布中，得到双侧概率为0.05所对应的上下端点可以这样来考虑：双侧概率指的是在上端和下端各划出概率相等的一部分，两概率之和为给定的概率值，这里是0.05，因此实际上上端点以上的概率为0.05/2=0.025，用概率0.025查表得上端点的值为16，记为χ20.05/2(7)=16。下端点以下的概率也为0.025，因此可以用0.975查得下端点为1.69，记为χ21-0.05/2(7)=1.69。
当然也可以按自由度及χ2值去查对应的概率值，不过这进往往只能得到一个大概的结果，因为χ2分布概率表的精度有限，只给了 13 个不同的概率值进行查表。例如，要在自由度为 18 的χ2分布查找 χ2=30 对应的概率，则先在第一列找到自由度 18，然后看这一行可以发现与 30 接近的有28.9与31.5，它们所在的列是0.05与0.025，所以要查的概率值应于介于0.05与0.025之间，当然这是单侧概率值，它们的双侧概率值界于0.1与0.05之间。如果要更精确一些可以采用插值的方法得到，这在正态分布的查表中有介绍。
为什么从正态总体中抽取出的样本的方差服从χ2分布
在抽样分布理论一节里讲到，从正态总体进行一次抽样就相当于独立同分布的 n 个正态随机变量ξ1，ξ2，…，ξn的一次取值，将 n 个随机变量针对总体均值与方差进行标准化得(i=1,…,n)，显然每个都是服从标准正态分布的，因此按照χ2分布的定义，应该服从参数为 n 的χ2分布。
如果将中的总体均值 μ 用样本平均数 ξ 代替，即得，它是否也服从χ2分布呢？理论上可以证明，它是服从χ2分布的，但是参数不是 n 而是 n-1 了，究其原因在于它是 n-1 个独立同分布于标准正态分布的随机变量的平方和
我们常常把一个式子中独立变量的个数称为这个式子的“自由度”，确定一个式子自由度的方法是：若式子包含有 n 个独立的随机变量，和由它们所构成的 k 个样本统计量，则这个表达式的自由度为 n-k。比如中包含ξ1，ξ2，…，ξn这 n 个独立的随机变量，同时还有它们的平均数 ξ 这一统计量，因此自由度为 n-1。
