小波分析
小波分析(wavelet analysis), 或小波变换、小波转换(wavelet transform)是指用有限长或快速衰减的、 ??为母小波(mother wavelet)的震荡波形来表示信号。该波彠被 缩放 和 平移 以匹配输入的信号。 小波一词由 Jean Morlet 和 Alex Grossman 在 1980年代 早期建立。他们用的是 法语 词ondelette - 意思就是"小波"。在英语里，后来将"o de"变为"wave"而成了wavelet。 小波变换删成两个大类： 离散小波变换 (DWT) 和 连续小波变换 (CWT)。两者的主要区别在于，连续变捠在所有可能的缩放和平移上操作，而禠散变换采用所有缩放和平移值的特定孠集。 小波理论和几个其他课题相关。 ??有小波变换可以视为 时域频域表示 的形式，所以和 调和分析 相关。所有实际有用的离散小波变换䠿用包含 有限脉冲响应 滤波器的滤波器段(filterbank)。构成CWT砄小波受 海森堡 的 测不准原理 制约，或者说，离散小波基可以在 测不准原理 的其他形式的上下文中考虑。
母小波
简单来说(技术上有错)，母小波函数psi (t)必须满足下列条件: :int_^ |psi (t)| ^2, dt = 1, 也即 psiin L^2(R) 并单位化 :int_^ |psi (t)|, dt <infty, 也即 psiin L^1(R) :int_^ psi (t), dt = 0 多数情况下，需要要求psi连续且有一个矩为0的大整数M，也即寠所有整数mint_^ t^m,psi (t), dt = 0 这表示母小波必须非0且均值为0。技 ??上来讲，母小波必须满足可采纳性条 ??以使某个分辨率的恒等成立。 母小栢的一些例子: 母小波缩放(或称膨胀)a倍并平移b得到(根据Morlet的原始形式): :psi _ (t) = psi left(
ight) 这些函数常常被错误的称为变换的埠函数。实际上，没有基函数存在。时埠频域解释要用一个稍有区别的表述(由D lprat给出)。
和傅立叶变换比较
小波变换经常和 傅立叶变换 做比较，在那里信号用正弦函数的和栥表示。主要的区别是小波在时域和频堟都是局部的而标准的 傅立叶变换 只在 频域 上是局部的。 短时间傅立叶变换 (Short-time Fourier transform)(STFT)也是时域和频域都局部化 ??但有些频率和时间的分辨率问题，而 ??波通常通过 多分辨率分析 给出信号更好的表示。 小波变换计箠复杂度 上也更小，只需要O(N)时间，而不是 快速傅立叶变换 的 O(N log N)，N代表数据大小。
小波的定义
有几种定义小波(或者小波族)的方法
缩放滤波器
小波完全通过缩放滤波器g - 一个低通 有限脉冲响应 (FIR)长度为2N和为1的滤波器 - 来定义。在双正交小波的情况，分解堌重建的滤波器分别定义。 高通滤波哒的分析作为低通的QMF来计算，而重建滠波器为分解的时间反转。 例如Daubechie 和Symlet小波。
缩放函数
小波有时域中的小波函数psi (t) (即母小波)和缩放函数phi (t) (也称为父小波)来定义。 小波函数实 ??上是带通滤波器，每一级缩放将带宽 ??半。这产生了一个问题，如果要覆盖 ??个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉 ??换的最低级并保证整个谱被覆盖到。 ??细解释请参看http://perso.wanadoo.fr/polyvalens/clemens/wavele s/wavelets.html#note7。 对于有紧支撑的小波，phi (t)可以视为有限长，并等价于缩放滤波堨g. 例如Meyer小波
小波函数
小波只有时域表示，作为小波函数psi (t). 例如墨西哥帽小波。
应用
通常来讲，DWT用于 信号编码 而CWT用于 信号分析 。所以，DWT通常用于工程和计算机科堦而CWT经常用于科学研究。小波变换现堨被大量不同的应用领域所采纳，经常堖代了 傅立叶变换 的位置。很多物理学的领域经历了这䠪范式的转变，包括 分子动力学 ， 重新计算 (ab initio calculations), 天文物理学 ， 密度矩阵 局部化，地震地质物理学， 光学 ， 湍流 ，和 量子力学 。其他经历了这种变化的学科有 图像处理 ，血压，心率和 心电图 分析， DNA 分析， 蛋白质 分析， 气象学 ，通用 信号处理 ， 语言识别 ， 计算机图形学 ，和 多分形分析 。 小波的一个用途是数据压缩。和兠他变换一样，小波变换可以用于原始敠据(例如图像)，然后将变换后的数据编 ??，得到有效的压缩。 JPEG 2000 是采用小波的图像标准。细节请参看 小波压缩 。
历史
小波的发展和几条不同的思路相关＠最早的是 Alfred Haar 在20世纪早期的工作。对小波理论有窠出贡献的有 Pierre Goupillaud , Alex Grossman 和 Jean Morlet 的表述，现在称为CWT (1982), Jan-Olov Strömberg 在离散小波上的早期工作(1983), 英格丽·多贝西 ( Ingrid Daubechies )的紧支撑正交小波(1988), Stephane Mallat 的多分辨率框架(1989), Nathalie Delprat CWT的时域频域解释 (1991), David E. Newland 的调和小波变换和之后的很多其他人㠂
时间线
- 第一个小波( Haar小波 )由 Alfred Haar 给出 (1909年)
- 1950年代以来: Jean Morlet 和 Alex Grossman
- 1980年代以来: Yves Meyer , Stéphane Mallat , 英格丽·多贝西 ( Ingrid Daubechies ), Ronald Coifman , Victor Wickerhauser
小波变换
存在着大量的小波变换，每个适合丠同的应用。完整的列表参看 小波相关的变换列表 ，常见的如下：
- 连续小波变换 (CWT)
- 离散小波变换 (DWT)
- 快速小波变换 (FWT)
- 小波包分解 (Wavelet packet decomposition) (WPD)
