帕斯卡三角形(Pascal'sTriangle)的顶端是 1,视为(row0).第1列(row1)(1&1)两个1,这两个1是由他们上头左右两数之和 (不在三角形内的数视为0).依此类推产生第2列(row2):0+1=1;1+1=2;1+0=1.第3列(row3):0+1=1;1+2=3;2+1=3;1+0=1. 循此法可以产生以下诸列.
每列由左而右各数,分别命名为第0元素,第1元素,....,如此第n列第n元素是 nCr.每列由左而右各数,分别命名为第0元素,第1元素,....,如此第n列第n元素是 nCr.
nCr =nCr=
n!n!
--------
r!(n-r)!r!(n-r)!
例如:第4列第1元素(n=4,r=1)是
4!
--------
1!(4-1)!
= 4= 4
5!=5×4×3×2×1=120. 8!=8×7×6×5×4×3×2×1=40320
第n 列元素合是2n.
20= 120=1
21= 1+1 = 221=1+1=2
22= 1+2+1 = 422=1+2+1=4
23= 1+3+3+1 = 823=1+3+3+1=8
24= 1+4+6+4+1 = 1624=1+4+6+4+1=16
如果有一列的第一元素是质数,除了前后元素之外,多可以被此质数除尽。 例如, 第7列row7 (1 7 21 35 35 21 7 1) 7, 21, and 35 多可被 7整除.例如, 第7列row7(172135352171)7,21,and35多可被7整除.
从某列的前(后)元素(1)开始向下朝帕斯卡三角形内,任划一对角线(长度自订),则对角线所经过各数相加之和恰等于对角线最后一个数下方的数(位于下一列,但不在对角线上)。
如:
1+6+21+56 = 841+6+21+56=84
1+7+28+84+210+462+924 = 17161+7+28+84+210+462+924=1716
1+12 = 131+12=13
如果将每列的元素,由左而右,当作一个多位数整数,此数恰等<br> 于11的n次方(n是列数),如下表:
列数列数 指数式指数式 = 计算值计算值 列展开式列展开式
第0列第0列 110110 = 11 11
第1列第1列 111111 = 1111 1 111
第2列第2列 112112 = 121121 1 2 1121
第3列第3列 113113 = 13311331 1 3 3 11331
第4列第4列 114114 = 1464114641 1 4 6 4 114641
第5列第5列 115115 = 161051161051 1 5 10 10 5 115101051
第6列第6列 116116 = 17715611771561 1 6 15 20 15 6 11615201561
第7列第7列 117117 = 1948717119487171 1 7 21 35 35 21 7 1172135352171
第8列第8列 118118 = 214358881214358881 1 8 28 56 70 56 28 8 118285670562881
其英文解释为：Pascal's triangle
这里还要介绍一下，帕斯卡三角形也叫贾宪三角形。
1261年，我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中记载着一张珍贵的图形--------“开方作法本源”图。根据杨辉自注，此图“出《释锁算书》，贾宪用此术”，就是说这张图是贾宪（11世纪）创造的，贾宪制作这张表进行开方运算，因其形似三角形，因此我们称之为“贾宪三角形”。
欧洲人一般称它为“帕斯卡三角形”，认为是法国科学家帕斯卡（1623～1662）首创的。中国和阿拉伯的数学家独立发明这个三角形都要早于欧洲。
近些年来国外也初见承认这项成果属于中国，有些数学史书上开始称它为“中国三角形”(Chinese triangle）了。
