牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz)公式
牛顿-莱布尼茨公式，又称为微积分基本定理，其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。从几何上看，它在切线和面积两个看似很不相关的概念之间建立起了联系。下面就是该公式的证明全过程：
我们知道，对黎曼(Riemann)可积函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：
b(上限)∫a（下限）f(x)dx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：
Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(x)dx
但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。虽然这种写法是可以的，但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：
Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt
接下来我们就来研究这个函数Φ(x)的性质：
命题1：定义函数Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则Φ(x)连续。当f(x)连续时，有Φ’(x)=f(x)。
证明：让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt，
利用区间可加性，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
若m和M分别是f(x)在区间[a,b]上的最小值和最大值，利用定积分第一中值定理，存在[m,M]中的实数η，使得
ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=η•Δx。
进一步，当f(x)连续时存在x与x+Δx之间的常数ξ，使得η=f(ξ)。
于是当Δx趋向于0时，ΔΦ趋向于0，即Φ(x)连续。
若f(x)连续，那么当Δx趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)，从而得出Φ’(x)=f(x)。
命题2：若f(x)在[a,b]上连续，且F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，那么b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)。
证明：我们已证得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x)+C=F(x)。
注意到Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F(a)=C，
于是有Φ(x)=F(x)-F(a)，当x=b时，Φ(b)=F(b)-F(a)，这就得到了牛顿-莱布尼茨公式。
注意：
1) 上述命题2中f(x)的连续性可以削弱为f(x)在[a,b]上Riemann可积，这个结论也称为微积分第二基本定理，证明则相对复杂一些，需要从Riemann积分的定义出发来完成。
2) f(x)是Riemann可积的不能保证f(x)的原函数F(x)存在，即不一定存在F(x)使得F'(x)=f(x)，例子是Riemann函数。
3) F(x)在(a,b)处处有有界导数不能保证F'(x)在[a,b]Riemann可积，例子是Volterra函数。
