计算机代数系统
科学计算可分为两类:一类是纯数值的计算,例如求函数的值,方程的数值解;另一类计算是符号计算,又称代数运算,这是一种智能化的计算,处理的是符号.符号可以代表整数,有理数,实数和复数,也可以代表多项式,函数,还可以代表数学结构如集合,群的表示等等.我们在数学的教学和研究中用笔和纸进行的数学运算多为符号运算.
我们知道,从计算机发明到现在的50多年时间里,用计算机进行的科学计算主要是数值计算,如天气预报,油藏模拟,航天等领域的大规模数值计算.长期以来,人们一直盼望有一个可以进行符号计算的计算机系统.早在50年代末,人们就开始了研究.进入80年代后,随着计算机的普及和人工智能的发展,用计算机进行代数运算的研究在国外发展非常迅速,涉及的数学领域也在不断地扩大,相继出现了多种功能齐全的计算机代数系统,这些系统可以分为专用系统和通用系统,专用系统主要是为解决物理,数学和其他科学分支的某些计算问题而设计的,专用系统在符号和数据结构上都适用于相应的领域,而且多数是用低级语言写成的,使用方便,计算速度快,在专业问题的研究中起着重要的作用.通用系统具有多种数据结构和丰富的数学函数,应用领域广泛.其中,REDUCE,RERIVE,Mathematica和Maple是用户教为广泛的通用数学软件.最近的计算机代数系统都是用C语言写成的,这种语言为软件开发者提供了编写有效的可移植的计算机程序的平台,所以这种计算机代数系统可以在绝大多数计算机上使用.Mathematica和Maple就是这样的系统.Mathematica是第一个将符号运算,数值计算和图形显示很好地结合在一起的数学软件,用户能够方便地用它进行多种形式的数学处理.Maple是80年代初就开始研制的计算机代数系统,起初并不为人们所注意,但这个软件发展很快.自从1992年MapleVR2出版后,更多的用户就发现它是一个功能强大而且界面友好的计算机代数系统.
尽管不同的数学软件之间有较大的差别,但也有一些共同的特点:
1.可以进行符号运算,数值计算和图形显示,这是通用数学软件包的三大基本功能.具有高效的可编程功能.
2.多数计算机代数系统都是交互式的,人们通过键盘输入命令,计算机计算后显示结果.好的系统都有Windows操作系统下的版本,人机界面友好,命令输入方便灵活,很容易寻求帮助.结果的输出有多种形式,好的数学软件都提供了人们习惯的数学符号表达形式.
3.各个系统都在不断地发展完善,不断地更新换代,更新的速冻也在逐渐加快.数学软件在向着智能化,自动化方向发展.数学软件的实质是数学方法及其算法在计算机上的实现,这些方法是千百年来无数数学家的工作与智慧的结晶.
4.参与软件开发和应用的人员的数量在不断增加,而且日趋国际化.随着Internet的普及,软件用户可以很方便地与软件开发者进行沟通,反映软件中存在的问题,也把新的应用情况和好的程序提供给软件的开发者.软件的开发不再只是软件开发者的事情,也是广大用户的事情.
计算机代数系统的优越性主要在于它能够进行大规模的代数运算.通常我们用笔和纸进行代数运算只能处理符号较少的算式,当算式的符号上升到百位数后,手工计算便成为可能而不可行的事,主要原因是在做大量符号运算时,我们很容易出错,并且缺乏足够的耐心.当算式的符号个数上升到四位数后,手工计算便成为不可能的事,这时用计算机代数系统进行运算就可以做到准确,快捷,有效.
尽管计算机代数系统在代替人进行繁琐的符号运算上有着无比的优越性,但是,计算机毕竟是机器,它只能执行人们给它的指令.数学软件都有一定的局限性.首先,多数计算机代数系统对计算机硬件有较高的要求,在进行符号运算时,通常需要很大的内存和较长的计算时间,而精确的代数运算以时间和空间为代价的.一些人工计算的简单问题,计算机代数系统却做不出来.用数学软件的第二个问题是计算结果往往很长,人们很难从结果中看到问题的要害.用计算机代数系统进行数值计算,虽然计算精度可以到任意位,但由于计算机代数系统是用软件本身浮点运算代替硬件算术运算,所以在速度要比用Fortran语言算同样的问题慢百倍甚至千倍.另外,虽然计算机代数系统包含大量的数学知识,但这仅仅是数学的一小部分,目前有许多数学领域计算机代数系统还未能涉及.
