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深入探讨透视投影坐标变换

王朝other·作者佚名  2008-05-19
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写3d图形程序,就一定会做坐标变换。而谈到坐标变换,就不得不提起投影变换,因为它是所有变换中最不容易弄懂的。但有趣的是,各种关于透视变换的文档却依然是简之又简,甚至还有前后矛盾的地方。看来如此这般光景,想要弄清楚它,非得自己动手不可了。所以在下面的文章里,作者尝试推导一遍这个难缠的透视变换,然后把它套用到 DX和 PS2lib 的实例中去。

一般概念

所谓透视投影变换,就是view 空间到project 空间的带透视性质的坐标变换步骤(这两

个空间的定义可以参考其他文档和书籍)。我们首先来考虑它应该具有那些变换性质。很显然,它至少要保证我们在view空间中所有处于可视范围内的点通过变换之后,统统落在project空间的可视区域内。好极了,我们就从这里着手――先来看看两个空间的可视区域。

由于是透视变换,view空间中的可见范围既是常说的视平截体(view frustum)。如图,

(图1)

它就是由前后两个截面截成的这个棱台。

从view空间的x正半轴看过去是下图这个样子。

(图2)

接下来是project空间的可视范围。这个空间应当是处于你所见到的屏幕上。实际上将屏幕表面视作project空间的xoy平面,再加一条垂直屏幕向里(或向外)的z轴(这取决于你的坐标系是左手系还是右手系),这样就构成了我们想要的坐标系。好了,现在我们可以用视口(view port)的大小来描述这个可视范围了。比如说全屏幕640*480的分辨率,原点在屏幕中心,那我们得到的可视区域为一个长方体,它如下图(a)所示。

(图3)

但是,这样会带来一些设备相关性而分散我们的注意力,所以不妨先向DirectX文档学学,将project空间的可视范围定义为x∈[-1,1], y∈[-1,1], z∈[0,1]的一个立方体(上图b)。这实际上可看作一个中间坐标系,从这个坐标系到上面我们由视口得出的坐标系,只需要对三个轴向做一些放缩和平移操作即可。另外,这个project坐标系对clip操作来说,也是比较方便的。

推导过程

先从project空间的x正半轴看看我们的变换目标。

(图4)

这个区域的上下边界为y’=±1, 而图2中的上下边界为y = ± z * tan(fov/2),要实现图

2到图4的变换,我们有y’ = y * cot(fov/2) / z。这下完了,这是一个非线性变换,怎么用矩阵计算来完成呢?还好我们有w这个分量。注意到我们在做投影变换之前所进行的两次坐标变换――world变换和view变换,他们只是一系列旋转平移和缩放变换的叠加。仔细观察这些变换矩阵,你会发现它们其实不会影响向量的w分量。换句话说,只要不是故意,一个w分量等于1的向量,再来到投影变换之前他的w分量仍旧等于1。好的,接下来我们让w’= w*z, 新的w就记录下了view空间中的z值。同时在y分量上我们退而求其次,只要做到y’ = y * cot(fov/2)。那么,在做完线性变换之后,我们再用向量的y除以w,就得到了我们想要的最终的y值。

x分量的变换可以如法炮制,只是fov要换一换。事实上,很多用以生成投影变换矩阵的函数都使用了aspect这个参数。这个参数给出了视平截体截面的纵横比(这个比值应与view port的纵横比相等,否则变换结果会失真)。如果我们按照惯例,定义aspect = size of X / size of Y。那么我们就可以继续使用同一个fov而给出x分量的变换规则:x’ = x * cot(fov/2) / aspect。

现在只剩下z分量了。我们所渴望的变换应将z = Znear 变换到z = 0,将z = Zfar变换到z = 1。这个很简单,但是等等,x, y最后还要除以w,你z怎能例外。既然也要除,那么z = Zfar 就不能映射到z = 1了。唔,先映射到z = Zfar试试。于是,有z’ = Zfar*(z-Znear)/(Zfar ? Znear)。接下来,看看z’/z的性质。令f(z) = z’/z = Zfar*(z-Znear)/(z*(Zfar ? Znear))。

则f’(z) = Zfar * Znear / ( z^2 * (Zfar ?Znear )), 显而易见f’(z) 0。所以除了z = 0是一个奇点,函数f(z)是一个单调增的函数。因此,当Znear≤z≤Zfar时,f(Znear)≤f(z)≤f(Zfar),

即0≤f(z)≤1。

至此,我们可以给出投影变换的表达式了。

x’ = x*cot(fov/2)/aspect

y’ = y*cot(fov/2)

z’ = z*Zfar / ( Zfar ? Znear ) ? Zfar*Znear / ( Zfar ? Znear )

w’ = z

以矩阵表示,则得到变换矩阵如下,

cot(fov/2)/aspect 0 0 0

0 cot(fov/2) 0 0

0 0 Zfar/(Zfar-Znear) 1

0 0 -Zfar*Znear/(Zfar-Znear) 0。

做完线性变换之后,再进行所谓的“归一化”,即用w分量去除结果向量。

现在我们考虑一下这个变换对全view空间的点的作用。首先是x和y分量,明了地,当z0时,一切都如我们所愿;当z

仍旧拿我们上面定义的f(z)函数来看,我们已经知道当z≥Zfar时,f(z)≥1;同时当z→+∞,f(z)→Zfar/(Zfar-Znear);当z→+0时,f(z)→-∞; z→-0时,f(z)→+∞; z→∞时,f(z)→Zfar/(Zfar-Znear).由此我们画出f(z)的图像。

(图5)

由此图可以看出当z≤0时,如果我们仍旧使用f(z)进行绘制会产生错误。所以我们会想需要clip操作――只要这个三角形有任意一个顶点经过变换后z值落在[Zfar/(Zfar-Znear), +∞]区间中,我们就毫不怜悯地抛弃她――因为无论如何,这个结果是错的。那么万一有三角形在view空间内横跨了Znear到0的范围,按我们想应该是画不出来了。但是回想一下我们所看见过的DirectX程序,似乎从未看到过这种情况。有点奇怪,但是不得不先放放,稍后再说。

3.到DirectX中求证

在DirectX中拿一个用fov生成投影矩阵的函数来看。

D3DXMATRIX* D3DXMatrixPerspectiveFovLH( D3DXMATRIX* pOut, FLOAT fovy, FLOAT Aspect,

FLOAT zn, FLOAT zf )

这个函数恰好使用了我们刚才推导所使用的几个参数,经过一些数据的代入计算之后,我们就会发现它所产生的矩阵就是我们计算出来的。看来,DirectX的思路和我们是一致的。好的,一个问题解决了,但一个新的问题接着产生――DirectX是怎么做clip的?我不知道,而且看样子现在也知道不了,只能期待牛人相助或者是碰到一本好书了。

4.研究ps2lib的投影变换

其实投影变换都是一回事,但是PS2lib的函数怎么有点不一样呢?仔细看看,原来我们的思路是先做“归一化”,然后再做view port的放缩和平移,而PS2不是这样――它把“归一化”放在最后。接下来,我们就按这个顺序试试。

先看缩放操作,把它和除z交换顺序很方便,直接换便是了。于是我们记view port 的宽度为Vw,高度为Vh, Z缓存的最大值为Zmax, 最小值为Zmin则有

x’ = x * cot(fov/2)/aspect*(Vw/2)

y’ = y * cot(fov/2)*(Vh/2)

z’ = Zfar(z-Znear)/(Zfar-Znear) * (Zmax-Zmin);

w’ = z

再看平移部分,既然是要平移后再除,则必须平移原来的z倍,于是我们又记view port中心坐标为(Cx, Cy),就有

x’’ = x’ + z * Cx

y’’ = y’ + z * Cy

z’’ = z’ + z * Zmin

w’’ = w

好的,我们看看cot(fov/2)等于什么,从图2看,实际上它就是D/(Vh/2),那么cot(fov/2)/aspect实际上就是D/(Vw/2)。但是,ps2在这上面耍了个小花招,它在view空间中的view port和project空间的view port可以不相等。最明显的一点是,它在view空间中的view port的高度为480,但实际上它的输出的y向分辨率只有224。也就是说,ps2想要输出纵横比等于电视机的图像,就必须在y向上再加一个缩放。这个缩放在我们的变换中体现在哪呢?就在y’ = D/(Vh/2) * (Vhscr/2)中,注意到两个Vh不相等(project空间中的Vh记成Vhscr),两个值一运算就得到x’ = D*(224/480) = 0.466667D。这个0.4666667就是ps2lib函数参数ay的由来。同理,我们亦可得知ax一般应取值为1。那么,实际上ps2lib函数的scrz,ax, ay三个参数的作用等同于DirectX的象形函数的fov和aspect,在确定的规则下,他们可以相互转换,得到性质完全相同的透视变换。至于这个规则,这里就不给出了。

转回正题,有了上面的讨论,我们就可以展开我们的变换表达式如下,

x’’ = x * scrz * ax + z * Cx

y’’ = x * scrz * ay + z * Cy

z’’ = z * (Zfar*Zmax?Znear*Zmin)/(Zfar ? Znear)

?Zfar*Znear*(Zmax-Zmin)/(Zfar-Znear)

w’’ = z

z分量好像还有点不一样,注意到一般ps2程序在z buffer的操作为greater&equal,而DirectX的操作为less&equal,就是说,z方向得做些

 
 
 
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