图像的几何变换
我们知道，图像是对三维实际景物的平面投影。为了观测需要，常常需要进行各种不同的几何变换。
★注意一点，实际上几何变换不改变像素值，而是改变像素所在的位置。
1．图像的平移
图像的平移非常简单，所用到的是中学学过的直角坐标系的平移变换公式：
x ‘ = x +dx
y’ = y + dy
注：(x,y)为源图像的坐标,(x’,y’)为新图像的坐标,dx对应x的偏移量,dy对应y的偏移量
2．图像的镜像
镜像分为水平镜像和垂直镜像
2．1>水平镜像计算公式如下（图像大小为M*N）：
x’ = x
y’ = N-1-y
2.2>垂直镜像计算公式为（图像大小为M*N）：
x’ = M-1 –x
y’ = y
3．图像的旋转
图像的旋转计算公式如下：
X’ = X *COS Q – Y *SIN Q
X’ = X *COS Q – Y *SIN Q
X’ = X *COS Q – Y *SIN Q
X’ = X *COS Q – Y *SIN Q
Y’ = X *SIN Q + Y*COS Q
•这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。要用插值处理。
•这个计算公式计算的结果值所在范围与原来的值所在的范围不同。
若以（CX，CY）为中心，角度Q逆时针旋转。
X’ = (X – CX)*COS Q – (Y – YC)*SIN Q + CX
Y’ = (X – CX)*SIN Q + (Y – YC)*COS Q + CY
注：(x,y)为源图像的坐标,(x’,y’)为新图像的坐标
4．图像缩放
n设原图像大小为M*N,缩小为k1M*k2N，（k1<1，k2<1）。算法步骤如下：
n
1）设旧图像是F(i,j)， i=1,2,…,M, j=1,2,…,N.
新图像是I(x,y), x=1,2,…,k1M, y=1,2,…,k2N.
2）I(x,y)=F(c1*i,c2*j)
c1=1/k1
c2=1/k2
•这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。要用插值处理。
5．图像错切
图像的错切变换实际上是平面景物在投影平面上的非垂直投影效果。
n错切的计算公式如下：
5.1 x方向错切
X' = X + DX *Y
Y' = Y (其中DX = tan Q)
5.2 y方向错切
X' = X
Y' = Y + DY *X (其中DY = tan Q)
注：当在进行图象几何变换时，一般来说图象像数对应的而坐标值为正整数，在几何变换时，若出现了小数，就要进行插值处理。在这里解释线性插值处理。
实践已证明，插值算法对于缩放比例较小的情况是完全可以接受的，令人信服的。一般的，缩小0.5倍以上或放大3.0倍以下，对任何图像都是可以接受的。
最邻近插值（近邻取样法）：
最临近插值的的思想很简单。对于通过反向变换得到的的一个浮点坐标，对其进行简单的取整，得到一个整数型坐标，这个整数型坐标对应的像素值就是目的像素的像素值，也就是说，取浮点坐标最邻近的左上角点（对于DIB是右上角，因为它的扫描行是逆序存储的）对应的像素值。可见，最邻近插值简单且直观，但得到的图像质量不高
双线性内插值：
对于一个目的像素，设置坐标通过反向变换得到的浮点坐标为(i+u,j+v)，其中i、j均为非负整数，u、v为[0,1]区间的浮点数，则这个像素得值 f(i+u,j+v) 可由原图像中坐标为 (i,j)、(i+1,j)、(i,j+1)、(i+1,j+1)所对应的周围四个像素的值决定，即：
f(i+u,j+v) = (1-u)(1-v)f(i,j) + (1-u)vf(i,j+1) + u(1-v)f(i+1,j) + uvf(i+1,j+1)
其中f(i,j)表示源图像(i,j)处的的像素值，以此类推。
这就是双线性内插值法。双线性内插值法计算量大，但缩放后图像质量高，不会出现像素值不连续的的情况。由于双线性插值具有低通滤波器的性质，使高频分量受损，所以可能会使图像轮廓在一定程度上变得模糊。
三次卷积法能够克服以上两种算法的不足，计算精度高，但计算亮大，他考虑一个浮点坐标(i+u,j+v)周围的16个邻点，目的像素值f(i+u,j+v)可由如下插值公式得到：
f(i+u,j+v) = [A] * [B] * [C]
[A]=[ S(u + 1)S(u + 0)S(u - 1)S(u - 2) ]
┏ f(i-1, j-1)f(i-1, j+0)f(i-1, j+1)f(i-1, j+2) ┓
[B]=┃ f(i+0, j-1)f(i+0, j+0)f(i+0, j+1)f(i+0, j+2) ┃
┃ f(i+1, j-1)f(i+1, j+0)f(i+1, j+1)f(i+1, j+2) ┃
┗ f(i+2, j-1)f(i+2, j+0)f(i+2, j+1)f(i+2, j+2) ┛
┏ S(v + 1) ┓
[C]=┃ S(v + 0) ┃
┃ S(v - 1) ┃
┗ S(v - 2) ┛
┏ 1-2*Abs(x)^2+Abs(x)^3 , 0<=Abs(x)<1
S(x)=｛ 4-8*Abs(x)+5*Abs(x)^2-Abs(x)^3, 1<=Abs(x)<2
┗ 0 , Abs(x)>=2
S(x)是对 Sin(x*Pi)/x 的逼近（Pi是圆周率——π）
最邻近插值（近邻取样法）、双线性内插值、三次卷积法 等插值算法对于旋转变换、错切变换、一般线性变换 和 非线性变换 都适用。
//灰度图象旋转,以CX，CY为中心点，Angle为旋转角度。
其中用到了图象旋转，双线性内插值算法。
void GrayImageRotate(LPBYTE S,LPBYTE D,int Cx,int Cy,double Angle)
{
double vcos,vsin;
double cx,cy,vx,vy,cntx,cnty;
int off,off1,off2;
int i,j,m,n;
double an,svx,svy;
double dx0,dy0,dx1,dy1,zz;
an = Angle*3.14159/180.0;
vcos = cos(an); vsin = sin(an);
cntx = (double)Cx; cnty = (double)Cy;
cx = -cntx; cy = -cnty;
svx = cx*vcos-cy*vsin+cntx;
svy = cx*vsin+cy*vcos+cnty;
off=0;
for(i=0;i<ImageHeight;i++)
{
vx = svx; vy = svy;
for(j=0;j<ImageWidth;j++)
{
m = (int)vx; n = (int)vy;
if((m<1)||(m>ImageWidth-2)||(n<1)||(n>ImageHeight-2))
{ D[off]=255;}
else
{
dx0 = vx-m; dy0 = vy-n;
dx1 = 1-dx0;dy1 = 1-dy0;
off1 = n*ImageWidth+m;
zz = 0;
zz = S[off1]*dx1*dy1;
off2 = off1+1;
zz += S[off2]*dx0*dy1;
off2 = off1+ImageWidth;
zz += S[off2]*dx1*dy0;
off2 = off1+ImageWidth+1;
zz += S[off2]*dx0*dy0;
if(zz>255) zz= 255;
if(zz<0) zz = fabs(zz);
D[off]=(int)zz;
}
off++; vx = vx +vcos; vy = vy+vsin;
}
svx=svx-vsin;svy=svy+vcos;
}
}
/*
函数名称： ImageRotate1
参数： S 原图象
D 旋转后的目标图象
fAngle 图象的旋转角度
说明： 用邻近点插值算法旋转图象
*/
void ImageRotate1(LPBYTE S,LPBYTE D,double fAngle)
{
int i,j;
double x,y,x0,y0,dx,dy,xc,yc;
xc=double(ImageWidth/2);
yc=double(ImageHeight/2);
x0=100000.0;
y0=0.0;
//计算图象的偏移量
GetRotateCoor(x0,y0,xc,yc,fAngle);
dx=xc-ImageWidth/2;
dy=yc-ImageHeight/2;
//新图象从旧图象中取点
for(i=0;i<ImageHeight;i++)
{
for(j=0;j<ImageWidth;j++)
{
//由新图象中的坐标得到原图象的坐标
x=j;y=i;
x=x+dx;
y=y+dy;
GetRotateCoor(x0,y0,x,y,-fAngle);
//如果原来的点在图象外面直接给一个空值
if(x<0||x>ImageWidth-1||y<0||y>ImageHeight-1)
D[j+i*ImageWidth]=0;
else
D[j+i*ImageWidth]=S[int(x)+int(y)*ImageWidth];
}
}
}
/*
函数名称： GetRotateCoor
参数： x0,y0 基点
x,y 返回后的目标点
fAngle 旋转角度
说明： 计算以基点为中心将目标点旋转一定角度后的坐标
*/
void GetRotateCoor(double x0,double y0,double& x,double& y,double fAngle)
{
double f,fR;
fR=sqrt((x0-x)*(x0-x)+(y0-y)*(y0-y));
f = GetAngle(x0,y0,x,y);
f+=fAngle;
x=x0+fR*cos(f);
y=y0+fR*sin(f);
}
/*
函数名称： g_Iden_GetAngle
参数： x0,y0 基点
x1,y1 目标点
说明： 计算由基点到目标点的弧度
*/
double GetAngle(double x0,double y0,double x1,double y1)
{
double fAngle;
if(x1!=x0)
fAngle=atan((float)(y1-y0)/(x1-x0));
else
if(y1>y0) return 1.570796325;
else return 4.712388975;
if(x1-x0<0)
fAngle=fAngle+3.14159265;
if(x1-x0>0&&y1-y0<0)
fAngle=fAngle+6.2831853;
return fAngle;
}
/*
函数名称： ImageRotate1
参数： S 原图象
D 旋转后的目标图象
fAngle 图象的旋转角度
说明： 用邻近点插值算法旋转图象
*/
void ImageRotate1(LPBYTE S,LPBYTE D,double fAngle)
{
int i,j;
double x,y,x0,y0,dx,dy,xc,yc;
xc=double(ImageWidth/2);
yc=double(ImageHeight/2);
x0=100000.0;
y0=0.0;
//计算图象的偏移量
GetRotateCoor(x0,y0,xc,yc,fAngle);
dx=xc-ImageWidth/2;
dy=yc-ImageHeight/2;
//新图象从旧图象中取点
for(i=0;i<ImageHeight;i++)
{
for(j=0;j<ImageWidth;j++)
{
//由新图象中的坐标得到原图象的坐标
x=j;y=i;
x=x+dx;
y=y+dy;
GetRotateCoor(x0,y0,x,y,-fAngle);
//如果原来的点在图象外面直接给一个空值
if(x<0||x>ImageWidth-1||y<0||y>ImageHeight-1)
D[j+i*ImageWidth]=0;
else
D[j+i*ImageWidth]=S[int(x)+int(y)*ImageWidth];
}
}
}
/*
函数名称： GetRotateCoor
参数： x0,y0 基点
x,y 返回后的目标点
fAngle 旋转角度
说明： 计算以基点为中心将目标点旋转一定角度后的坐标
*/
void GetRotateCoor(double x0,double y0,double& x,double& y,double fAngle)
{
double f,fR;
fR=sqrt((x0-x)*(x0-x)+(y0-y)*(y0-y));
f = GetAngle(x0,y0,x,y);
f+=fAngle;
x=x0+fR*cos(f);
y=y0+fR*sin(f);
}
/*
函数名称： g_Iden_GetAngle
参数： x0,y0 基点
x1,y1 目标点
说明： 计算由基点到目标点的弧度
*/
double GetAngle(double x0,double y0,double x1,double y1)
{
double fAngle;
if(x1!=x0)
fAngle=atan((float)(y1-y0)/(x1-x0));
else
if(y1>y0) return 1.570796325;
else return 4.712388975;
if(x1-x0<0)
fAngle=fAngle+3.14159265;
if(x1-x0>0&&y1-y0<0)
fAngle=fAngle+6.2831853;
return fAngle;
}
