算法分析：用筛选法求质数
作者：cywater2000
日期：2005-4-5
出处：http://blog.csdn.net/cywater2000/
一．起因：
很早以前曾在CSDN某位网友的blog中看到过有关“筛选法求质数”的报道。由于当时没有具体研究，所以并没有看懂那段代码。觉得有些不可思议！
…
前几天正好有机会在某门课上学了一下相关知识，于是拿出来大家分享一下。
在讲之前，大家可以先看看下面这篇帖子：
http://www.math.utah.edu/classes/216/assignment-07.html
是不是觉得有些神奇？如果只是拿来用的话，也没多少好说的。但正所谓“知其然，知其所以然也”。我们来看看算法是怎么得来的。
二．算法描述
我们先设保存整数0~N的数组为sieve[N+1]，用“逐步求精”的方法来得出算法：
[定理1]若比素数P小的所有素数的倍数均已从sieve中删去，且P*P > N,则sieve = primes(2…N)。 其中：primes(2..N)表示2..N之间所有的素数。
因此算法的框架应该是：
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
P = 3; //(P=2不考虑的原因是因为偶数一开始就删除了)
while(P * P <= N)
{
从sivev中删去P的倍数;
P =下一个素数；
}
//此时sieve中留下的就是素数了
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
那么问题1：如求P的倍数呢？
由于P是质数，所以P肯定是奇数，因此：奇数＋2＝奇数；
所以P的倍数可以表示为：
…P*(P-4), P*(P-2), P*P, P*(P+2), P*(P+4)…
而“比素数P小的所有素数的倍数均已从sieve中删去”，所以只考虑:
P*P, P*(P+2), P*(P+4)…即可：
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
//“从sivev中删去P的倍数;”
t = P * P;
s = 2 * P;
while(t <= N)
{
从sieve中删去t;
t = t +s;
}
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
问题2：如何得到下一个素数？
[定理2]令P`是sieve中大于P的最小元素，则P`是下一素数。
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
//“P =下一个素数；”
P = P+1;
while(P不在sieve中) P = P+1;
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
最后一个问题3：算法是否会终止呢？即在P和P*P之间是否一定能找到一个素数？
[定理3]已知素数P，在P和P*P之间至少存在一个素数。
最后，根据上面的算法，我们用一个简单的C++程序来描述就是：
/************************************************************
* 使用改进的The Sieve of Eratosthenes（爱拉托逊斯筛选法）求质数
* cywater2000
* 2005-4-5
/************************************************************/
#include <iostream.h>
#define N 100
void main()
{
int sieve[N + 1]; //N以内的数
//step 1:
//初始化（sieve[i] = 0 表示不在筛中，即不是质数；1表示在筛中）
for(int i = 2; i <= N; i++) //从2开始，因为0和1不是质数
sieve[i] = 1;
//step 2:
//偶数(2的倍数)肯定不是质数，所以应该先筛除
for(i = 2; i <= N / 2; i++)
sieve[i * 2] = 0;
int p = 2; //第一个质数是2
//step 3:从sieve中删去P的倍数
while(p * p <= N)
{
//选下一个p
p = p + 1;
while(sieve[p] == 0)
p++;
int t = p * p;
int s = 2 * p;
while(t <= N)
{
sieve[t] = 0; //删除
t = t + s;
}
}
//step 4:输出结果
for(i = 2; i <= N; i++)
{
if(sieve[i] != 0)
{
cout<<i<<", ";
}
}
}
三．改进
除了可以考虑将*2和/2改为<<1和>>1之外，还可以将第一步和第二步合在一起
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//step 1&2:
for(int i = 3; i <= N; i++)
sieve[i] = i % 2;
sieve[2] = 1; //2可是质数！
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当然还有其它地方可以改进的，这里就不讨论了。
