证明:对于一个矩形A,可以找到另一个矩形B的周长和面积都为A的n倍(一)

王朝other·作者佚名  2006-02-01
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本章讨论,当n≥1时是否存在。

据题意,设B的长和宽为x和y,A的长宽分别为a、b,得方程组:

①x + y = n ( a + b )

②x y = a b n

由①得:③y = a n + b n – x

将③带入②得:

x ( a n + b n – x ) = a b n

④x2 – a n x – b n x + a b n = 0

设在④中Δ<0,则可得:

[ - ( a + b ) n ]2 – 4 * 1 * a b n < 0

a2 n2 + 2 a b n2 + b2 n2 – 4 a b n < 0

a2 n2 + 2 a b n2 + b2 n2 < 4 a b n

∵ n≥1 ∴ 2 a b n2 ≥ 2 a b n

可得:

a2 n2 + b2 n2 < 2 a b n

( a n + b n )2 – 2 a b n2 < 2 a b n

( a + b )2 n2 < 2 a b n ( n + 1 )

( a + b )2 n < 2 a b ( n + 1 )

当 n = 1 时

( a + b )2 < 4 a b

( a – b )2 < 0

与 a > 0,b > 0 相矛盾(( a – b )2 ≥ 0)

当 n > 1 时,把2 a b n2 ≥ 2 a b n代回。

( a + b )2 n + 2 a b n2 < 2 a b ( n + 1 ) + 2 a b n

( a2 + 2 a b + b2 + 2 a b n ) n < 2 a b ( n + 1 ) – 2 a b n

[ ( a + b )2 + 2 a b n ] n < 2 a b

∵ a > 0,b > 0,n > 1

又∵( a + b )2 > 2 a b

∴[ ( a + b )2 + 2 a b n ] n > 2 a b

[ ( a + b )2 + 2 a b n ] n < 2 a b与[ ( a + b )2 + 2 a b n ] n > 2 a b矛盾

∴Δ≥0,即当n≥1时,可以得到一个矩形B的周长和面积均为给定矩形A的n倍

 
 
 
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