Solovag-Strasson
Robert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数:
(1) 选择一个小于p的随机数a。
(2) 如果GCD(a,p)<>1,那么p通不过测试,它是合数。
(3) 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
(4) 计算雅可比符号J(a,p)。
(5) 如果j<>J(a,p),那么p肯定不是素数。
(6) 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%
数a被称为一个证据,如果a不能确定p,p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值,重复t次这种测试。p通过所有t次测试后,它是合数的可能性不超过1/2^t。
Lehmann
另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法:
(1) 选择一个小于p的随机数a。
(2) 计算a^(p-1)/2 mod p
(3) 如果a^(p-1)/2<>1或-1(mod p),那么p肯定不是素数。
(4) 如果a^(p-1)/2=1或-1(mod p),那麽p不是素数的可能性值多是50%
同样,重复t次,那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。
Rabin-Miller
这是个很容易且广泛使用的简单算法,它基于Gary Miller的部分象法,有Michael Rabin发展。事实上,这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。
首先选择一个代测的随机数p,计算b,b是2整除p-1的次数。然后计算m,使得n=1+(2^b)m。
(1) 选择一个小于p的随机数a。
(2) 设j=0且z=a^m mod p
(3) 如果z=1或z=p-1,那麽p通过测试,可能使素数
(4) 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
(5) 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p,然后回到(4)。如果z=p-1,那麽p通过测试,可能为素数。
(6) 如果j=b 且z<>p-1,不是素数
这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时,它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上,对大多数随机数,几乎99.99%肯定a是证据。
实际考虑:
在实际算法,产生素数是很快的。
(1) 产生一个n-位的随机数p
(2) 设高位和低位为1(设高位是为了保证位数,设低位是为了保证位奇数)
(3) 检查以确保p不能被任何小素数整除:如3,5,7,11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
(4) 对某随机数a运行Rabin-Miller检测,如果p通过,则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值,以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败,从新产生p,再测试。
在Sparc II上实现: 2 .8秒产生一个256位的素数
24.0秒产生一个512位的素数
2分钟产生一个768位的素数