数据结构学习（C++）——图【4】（最短路径） happycock（原作）
要害字 数据结构 最短路径
最短路径恐怕是图的各种算法中最能吸引初学者眼球的了——在地图上找一条最短的路或许每个人都曾经尝试过。下面我们用计算机来完成我们曾经的“愿望”。
在图的算法中有个有趣的现象，就是问题的规模越大，算法就越简单。图是个复杂的结构，对于一个特定问题，求解特定顶点的结果都会受到其他顶点的影响——就好比一堆互相碰撞的球体，要求解特定球体的状态，就必须考虑其他球体的状态。既然每个顶点都要扫描，假如对所有的顶点都求解，那么算法就非常的简单——无非是遍历吗。然而，当我们降低问题规模，那很自然的，我们希望算法的规模也降低——假如不降低，不是杀鸡用牛刀？但是，正是由于图的复杂性，使得这种降低不轻易达到，因此，为了降低算法的规模，使得算法就复杂了。
在下面的介绍中，清楚了印证了上面的结论。人的认知过程是从简单到复杂，虽然表面看上去，求每对顶点之间的最短路径要比特定顶点到其他顶点之间的最短路径复杂，但是，就像上面说的，本质上，前者更为简单。下面的介绍没有考虑历史因素（就是指哪个算法先提出来），也没有考虑算法提出者的真实想法（究竟是谁参考了或是没参考谁），只是从算法本身之间的联系来做一个阐述，如有疏漏，敬请原谅。
预备工作
一路走下来，图类已经很“臃肿”了，为了更清楚的说明问题，需要“重起炉灶另开张”，同时也是为了使算法和储存方法分开，以便于复用。
首先要为基本图类添加几个接口。
template
class Network
{
public:
int find(const name& v)
dist& getE(int m, int n)
const dist& NoEdge()
};
template
class AdjMatrix
{
public:
dist& getE(int m, int n)
};
template
class Link
{
public:
dist& getE(int m, int n)
{
for (list::iterator iter = vertices[m].e-begin();
iter != vertices[m].e-end() && iter-vID
if (iter == vertices[m].e-end()) return NoEdge;
if (iter-vID == n) return iter-cost;
return NoEdge;
}
};
然后就是为了最短路径算法“量身定做”的“算法类”。求某个图的最短路径时，将图绑定到算法上，例如这样：
Network a(100);
//插入点、边……
Weight b(&a);
#include "Network.h"
template
class Weight
{
public:
Weight(Network* G) : G(G), all(false), N(G-vNum())
{
length = new dist*[N]; path = new int*[N];
shortest = new bool[N]; int i, j;
for (i = 0; i
{
length[i] = new dist[N]; path[i] = new int[N];
}
for (i = 0; i
{
shortest[i] = false;
for (j = 0; j
{
length[i][j] = G-getE(i, j);
if (length[i][j] != G-NoEdge()) path[i][j] = i;
else path[i][j] = -1;
}
}
}
~Weight()
{
for (int i = 0; i
delete []length; delete []path; delete []shortest;
}
private:
void print(int i, int j)
{
if (path[i][j] == -1) cout
cout getV(j)
cout
}
void out(int i, int j)
{
if (path[i][j] != i) out(i, path[i][j]);
cout getV(path[i][j]) ";
}
dist** length; int** path; bool* shortest; bool all; int N;
Network* G;
};
发现有了构造函数真好，算法的结果数组的初始化和算法本身分开了，这样一来，算法的基本步骤就很轻易看清楚了。
所有顶点之间的最短路径（Floyed算法）
从v1到v2的路径要么是v1-v2，要么中间经过了若干顶点。显然我们要求的是这些路径中最短的一条。这样一来，问题就很好解决了——最初都是源点到目的点，然后依次添加顶点，使得路径逐渐缩短，顶点都添加完了，算法就结束了。
void AllShortestPath() //Folyed
{
if (all) return;
for (int k = 0; k
{
shortest[k] = true;
for (int i = 0; i
for (int j = 0; j
if (length[i][k] + length[k][j]
{
length[i][j] = length[i][k] + length[k][j];
path[i][j] = path[k][j];
}
}
all = true;
}
单源最短路径（Dijkstra算法）
仿照上面的Floyed算法，很轻易的，我们能得出下面的算法：
void ShortestPath(int v1)
{
//Bellman-Ford
for (int k = 2; k
for (int i = 0; i
for (int j = 0; j
if (length[v1][j] + length[j][i]
{
length[v1][i] = length[v1][j] + length[j][i];
path[v1][i] = j;
}
}
这就是Bellman-Ford算法，可以看到，采用Floyed算法的思想，不能使算法的时间复杂度从O(n3)降到预期的O(n2)，只是空间复杂度从O(n2)降到了O(n)，但这也是应该的，因为只需要原来结果数组中的一行。因此，我并不觉得这个算法是解决“边上权值为任意值的单源最短路径问题”而专门提出来的，是Dijkstra算法的“推广”版本，他只是Floyed算法的退化版本。
显然，Floyed算法是经过N次N2条边迭代而产生最短路径的；假如我们想把时间复杂度从O(n3) 降到预期的O(n2)，就必须把N次迭代的N2条边变为N条边，也就是说每次参与迭代的只有一条边——问题是如何找到这条边。
先看看边的权值非负的情况。假设从顶点0出发，到各个顶点的距离是a1,a2……，那么，这其中的最短距离an必定是从0到n号顶点的最短距离。这是因为，假如an不是从0到n号顶点的最短距离，那么必然是中间经过了某个顶点；但现在边的权值非负，一个比现在这条边还长的边再加上另一条非负的边，是不可能比这条边短的。从这个原理出发，就能得出Dijkstra算法，注重，这个和Prim算法极其相似，不知道谁参考了谁；但这也是难免的事情，因为他们的原理是一样的。
void ShortestPath(const name& vex1, const name& vex2)//Dijkstra
{
int v1 = G-find(vex1); int v2 = G-find(vex2);
if (shortest[v1])
bool* S = new bool[N]; int i, j, k;
for (i = 0; i
for (i = 0; i
{
for (j = 0, k = v1; j
if (!S[j] && length[v1][j]
S[k] = true;
for (j = 0; j
if (!S[j] && length[v1][k] + length[k][j]
{
length[v1][j] = length[v1][k] + length[k][j];
path[v1][j] = k;
}
}
shortest[v1] = true; print(v1, v2);
}
假如边的权值有负值，那么上面的原则不再适用，连带的，Dijkstra算法也就不再适用了。这时候，没办法，只有接受O(n3) Bellman-Ford算法了，虽然他可以降低为O(n*e)。不过，何必让边的权值为负值呢？还是那句话，合理的并不好用。
特定两个顶点之间的最短路径（A*算法）
其实这才是我们最关心的问题，我们只是想知道从甲地到乙地怎么走最近，并不想知道别的——甲地到丙地怎么走关我什么事？自然的，我们希望这个算法的时间复杂度为O(n)，但是，正像从Floyed算法到Dijkstra算法的变化一样，并不是很轻易达到这个目标的。
让我们先来看看Dijkstra算法求特定两个顶点之间的最短路径的时间复杂度究竟是多少。显然，在上面的void ShortestPath(const name& vex1, const name& vex2)中，当S[v2]==true时，算法就可以中止了。假设两个顶点之间直接的路径是他们之间的路径最短的（不需要经过其他中间顶点），并且这个路径长度是源点到所有目的点的最短路径中最短的，那么第一次迭代的时候，就可以得到结果了。也就是说是O(n)。然而当两个顶点的最短路径需要经过其他顶点，或者路径长度不是源点到未求出最短路径的目的点的最短路径中最短的，那就要再进行若干次迭代，对应的，时间复杂度就变为O(2n)、O(3n)……到了最后才求出来（迭代了N－1次）的就是O(n2)。
很明显的，迭代次数是有下限的，最短路径上要经过多少个顶点，至少就要迭代多少次，我们只能使得最终的迭代次数接近最少需要的次数。假如再要减低算法的时间复杂度，我们只能想办法把搜索范围的O(n)变为O(1)，这样，即使迭代了N－1次才得到结果，那时间复杂度仍为O(n)。但这个想法实现起来却是困难重重。
仍然看Dijkstra算法，第一步要寻找S中的顶点到S外面顶点中最短的一条路径，这个min运算使用基于比较的方法的时间复杂度下限是O(longN)（使用败者树），然后需要扫描结果数组的每个分量进行修改，这里的时间复杂度就只能是O(n)了。原始的Dijkstra算法达不到预期的目的。
现在让我们给图添加一个附加条件——两点之间直线最短，就是说假如v1和v2之间有直通的路径（不经过其他顶点），那么这条路径就是他们之间的最短路径。这样一来，假如求的是v1能够直接到达的顶点的最短路径，时间复杂度就是O(1)了，显然比原来最好的O(n)（这里实际上是O(logN)）提高了效率。
这个变化的产生，是因为我们添加了“两点之间直线最短”这样的附加条件，实际上就是引入一个判定准则，把原来盲目的O(n)搜索降到了O(1)。这个思想就是A*算法的思想。关于A*算法更深入的介绍，恕本人资料有限，不能满足大家了。有爱好的可以到网上查查，这方面的中文资料实在太少了，大家做好看E文的预备吧。
总结
不同于现有的教科书，我把求最短路径的算法的介绍顺序改成了上面的样子。我认为这个顺序才真正反映了问题的本质——当减低问题规模时，为了降低算法的时间复杂度，应该想办法缩小搜索范围。而缩小搜索范围，都用到了一个思想——尽可能的向接近最后结果的方向搜索，这就是贪婪算法的应用。
假如反向看一遍算法的演化，我们还能得出新的结论。Dijkstra算法实际上不用做n2次搜索、比较和修改，当求出最短路径的顶点后，搜索范围已经被缩小了，只是限于储存结构，这种范围的缩小并没有体现出来。假如我们使得这种范围缩小直接体现出来，那么，用n次Dijkstra算法代替Floyed算法就能带来效率上的提升。A*算法也是如此，假如用求n点的A*算法来代替Dijkstra算法，也能带来效率的提升。
但是，每一步的进化实际上都伴随着附加条件的引入。从Floyed到Dijkstra是边上的权值非负，假如这个条件不成立，那么就只能退化成Bellman-Ford算法。从Dijkstra到A*是另外的判定准则的引入（本文中是两点之间直线最短），假如这个条件不成立，同样的，只能采用不完整的Dijkstra（求到目的顶点结束算法）。
数据结构学习（C++）——图【5】活动网络（AOV、AOE） happycock（原作）
要害字 AOV AOE
这部分是和工程相关的，也就是说，当AOV、AOE很复杂的时候，才能显示出这部分的价值——简单的话，手工都要比程序快，输入数据那段时间手工结果就出来了。我也没什么例子好举，总给我一种没底气的感觉，勉为其难的把程序写完就算完事吧。和前边的相比，这部分专业了一点，换而言之，不是每个人都感爱好，不想看就跳过去吧。
预备工作
活动网络主要有两个算法，拓扑排序和求要害路径，后者以前者为基础。仿照上篇，另外构造一个“算法类”，需要算法时，将图绑定到算法上。
#include "Network.h"
#define iterator list::edge::iterator
#define begin(i) G-data.vertices[i].e-begin()
#define end(i) G-data.vertices[i].e-end()
strUCt CriAct
{
CriAct() {}
CriAct(int source, int dest) : s(source), d(dest) {}
int s, d;
};
template
class ActivityNetwork
{
public:
ActivityNetwork(Network * G) : G(G), N(G-vNum()), outCriAct(CA)
{
count = new int[N]; result = new int[N];
}
~ActivityNetwork()
{
delete []count; delete []result;
}
const vector& outCriAct;
const int* out;
private:
void initialize()
{
for (int j = 0; j
for (int i = 0; i
{
for (iterator iter = begin(i); iter != end(i); iter++) count[iter-vID]++;
}
out = result;
}
Network * G;
vector CA;
int N, *count, *result;
};
因为AOV和AOE的边都不会太多（想象一下边多的情况，那事件就都是鸡毛蒜皮了），所以储存结构直接选择了邻接表。并且为了体现邻接表的优势，需要直接操作私有数据，因此要把这个类声明为Link类和Network类的友元，另外由于这个类在后面，所以需要前视声明。具体如下：
template class ActivityNetwork;
template class Link
;
template class Network
;
拓扑排序
这个算法很精巧，避免了对已经排好序的顶点的再次扫描，另外，殷版上用计数数组来充当栈的方法也很巧妙。算法的说明参阅相关的教科书，不再赘述。
bool TopoSort()
{
initialize(); int i, top = -1;
for (i = 0; i
for (i = 0; i
{
if (top == -1) return false;
result[i] = top; top = count[top];
for (iterator iter = begin(result[i]); iter != end(result[i]); iter++)
if (!--count[iter-vID])
}
return true;
}
由于public数据成员out和private数据成员result指向同一个数组，在类的外面可以通过out来得到排序结果，只是不能改变（当然，非要改变const数据也不是没有办法）。下面是测试程序，数据来自殷版：
#include
using namespace std;
#include "ActivityNetwork.h"
int main()
{
Network a;
a.insertV(0);a.insertV(1);a.insertV(2);a.insertV(3);a.insertV(4);a.insertV(5);
a.insertE(0,3,1);a.insertE(0,1,1);a.insertE(1,5,1);a.insertE(2,1,1);
a.insertE(2,5,1);a.insertE(4,0,1);a.insertE(4,1,1);a.insertE(4,5,1);
ActivityNetwork b(&a);
if (b.TopoSort()) for (int i = 0; i
return 0;
}
要害路径
有了拓扑排序的结果，这个程序就比较好写了，那些所谓的“技巧”就不用了，如下的程序，很直白，算法说明请参考教科书。
bool CriPath()
{
if (!TopoSort()) return false; int i; iterator iter; CA.clear();
dist* Ve = new dist[N]; dist* Vl = new dist[N];//Ve最早开始时间，Vl最迟开始时间
for (i = 0; i
for (i = 0; i
for (iter = begin(result[i]); iter != end(result[i]); iter++)
if (Ve[result[i]]+iter-costVe[iter-vID]) Ve[iter-vID]= Ve[result[i]] + iter-cost;
for (i = 0; i
for (i = N - 2; i = 0; i--)//按逆拓扑顺序计算Vl
for (iter = begin(result[i]); iter != end(result[i]); iter++)
if (Vl[iter-vID]-iter-cost vID] - iter-cost;
for (i = 0; i
for (iter = begin(i); iter != end(i); iter++)
if (Ve[i] == Vl[iter-vID] - iter-cost) CA.push_back(CriAct(i, iter-vID));
return true;
}
同样的在类的外面可以通过outCriAct得到结果，是一个const引用。如下的测试程序，数据来自殷版：
#include
using namespace std;
#include "ActivityNetwork.h"
int main()
{
Network a;
a.insertV(0);a.insertV(1);a.insertV(2);a.insertV(3);a.insertV(4);
a.insertV(5); a.insertV(6);a.insertV(7);a.insertV(8);
a.insertE(0,1,6);a.insertE(0,2,4);a.insertE(0,3,5);
a.insertE(1,4,1);a.insertE(2,4,1);a.insertE(3,5,2);
a.insertE(4,6,9);a.insertE(4,7,7);a.insertE(5,7,4);
a.insertE(6,8,2);a.insertE(7,8,4);
ActivityNetwork b(&a);
if (b.CriPath())
for (int j = 0; j
cout
return 0;
}
数据结构学习（C++）——图（总结） happycock（原作）
要害字 图
以上就是现在的教科书里面，图的全部内容了。写完之后，茫茫然，不知道学完之后有什么用……就像我在开篇写的，图的应用太广泛了，以至于现在觉得图“没什么用”——很希奇的逻辑，只有仔细体味才能觉察到写教科书的人的无奈。
不同于前面的链表和树，在图这里，储存方法不是重点，我们更多的注重力放在了算法上。我在写程序的时候，也尽量做到了算法和储存方法无关。然而算法实际上就是现实问题的抽象，假如我们的常识所不及，我们也就没有办法来介绍算法，反过来说，几乎遇不到的问题，我们也不会对它的算法感爱好。
因此，在图的算法里面，由铺设管道引出了最小生成树，由提高通信、交通网络可靠性引出了关节点和重连通分量，由地图寻径引出了最短路径，由工程预算引出了要害路径。这些恐怕是我们能够理解的全部了，假如再来一个电气网络计算，没点物理知识恐怕是要完。
但即使这样，上面的各个算法仍然离我们很远，我们大多数人恐怕永远都不会知道管道是怎么铺的。我想，这里面除了最短路径能引起大多数人的爱好之外，其他的就只能走马观花的看看罢了。这也使得图的学习很像“聋子的耳朵”，真正接触到图的用途的人不多，并且即使用到图，也仅仅是个别的算法。
正像数据结构教学的通病一样，学无所用经常导致学无所成，前面的链表、树好歹还能做点什么东西出来，到了图这里，除了做个导游系统，我们也做不出别的什么了。写到这里很无奈，但我也只能是无奈……
那么，学完了图，我们应该把握什么呢，是上面零散的算法吗？我的看法是，不是。我觉得我们更应该知道那些算法是怎么“创造”出来的，假如碰到了类似的问题，能不能“派生”出新的算法。因此，我觉得《数据结构算法与应用-C++语言描述》这本书，将图的最小生成树、最短路径、拓扑排序算法放到了贪婪算法里讲解，是一种更为合理的安排。
最后对在学习图时像我一样茫然的人深表同情。
数据结构学习（C++）——后记 happycock（原作）
要害字 数据结构
这回真的是后记了，也就是到了这些文章结束的时候了。虽然还有排序和查找两大算法系没有讲，但是对于“数据结构”而言，上面应该是全部了。并且这些文章加在一起已经很长了，每次打开Word来编辑，跳到末页总是不那么顺畅，是到了结束的时候了。对于那两大算法系，我预备另外再开一个系列，姑且就叫做《数据结构学习（C++）续》吧。忽然发现，在安排文章结构上不知不觉的受了《计算机编程艺术》的影响了。
我的参考书主要是三本，《数据结构（用面向对象方法与C++描述）》（殷人昆等），《数据结构（C语言版）》（严蔚敏、吴伟民），《数据结构算法与应用-C++语言描述》（中译名，具体信息可查china-pub）。
能写完这些文章，首先要感谢C++语言，假如让我拿C来写，没准中途就放弃了。前不久还看到有人争论数据结构用什么语言描述最合适，有人还在坚持用C最好，按照他的看法，汇编没准是最好的（有爱好可以看看《计算机编程艺术》是拿什么语言写的）。从ADT的思想来看，C是不合适的，因为C要把数据和数据上的操作封装在一起非常的麻烦，并且只有利用文件来组织这种关系，而对于初学者来说，多模块编译链接本身就是一个很玄的事，当年学C语言的时候这部分都没敢看。而C++的类能非常完美的表达ADT的思想，并且模板、重载、继续能更清楚的表述数据结构之间的联系。关于C++在解决问题上比C的优势，可以看看《C++沉思录》，有非常有说服力的例子，当然，从运行效率来说，C要强于C++。
然而当选用了C++之后，有件事就非常尴尬了，就是STL。常用的数据结构、算法都已经作为C++标准的一部分了，我就看到一本书是用STL来描述数据结构的（只看到了书名，没看到内容）。前面的三部分，线性表在STL里全部都有现成的（变长数组、链表、队列、栈），二叉搜索树在SGI－STL里有红黑树的实现，只有图标准库没有提供，但是图最重要的是一堆算法。排序、查找在STL里也有现成的。
这让我想起了“程序员＝民工”的论调，的确，现在的语言、开发工具在给程序员提供了便利的同时，也限制了程序员的思维，养成了他们的惰性。现在编程就是在Framework里面改写若干的函数，在我们感到这种方式的便利的同时，也越来越感到自己力量的渺小。也许人就是种希奇的动物。
或许数据结构这门课程根本就不是让你把握那些链表、树是如何实现的。开设这门课第一个目的是让你懂得“数据结构＋算法＝程序”，第二个目的是培养数据抽象的能力。当这两个目的达到的同时，你也就具备了解决现实未知问题的能力，遗憾的是，大多数连把握已有的数据结构的目标都没达到。出于这个原因，我总是建议你看看《计算机编程艺术》，这部有无数赞誉的巨著。最好不要买纸版的，弄个电子版就行了，纸版的恐怕会吓得你不敢看，^_^。正如盖茨说的，这本书很有趣，假如你不把它当成参考书，你一定会有新的体会。
所有的源程序都已打包，MyDS是线性链式结构，MyTree是树结构，Graph是图结构。加上这系列的WORD文档，打成一个zip包，初步计划放到C++中国联盟的FTP上，下面是论坛的网址http://www.cppcn.com/bbs/
要想学好数据结构，最好亲自把所有的算法完成一遍，从这个角度说，我的源程序有负面作用。我的初衷是使那些照书调不出来的不会因为写不出程序而影响了学习的信心，究竟书上的错漏在所难免，对自学的人和在照本宣科老师手下饱受煎熬的人来说，我的源程序应该能起到预期的作用。
本系列到此结束，续篇再见吧。
