费尔马“二平方”素数
问题的提出除２这个非凡的素数外，所有的素数都可以分成两类：第一类是被4除余1的素数，如5,13,17,2937,41;第二类是被4除余3的素数，如3,7,11,19,23,31。第一类素数都能表示成两个整数的平方和（第二类则不能）。
例如：5=1-1+2*213=2*2+3*317=1*1+4*4 29=2*2+5*5这就是闻名的费尔马“二平方”定理。有趣的是：上述等式右侧的数有的又恰恰是两个素数的平方，如13,29的表达式，我们起名叫作费尔马“二平方”素数，即假如一个素数能够表示成两个素数的平方和的形式：Ｆ＝Ｘ＊Ｘ＋Ｙ ＊Ｙ （１）其中Ｆ、Ｘ、Ｙ 都是素数，它就是费尔马“二平方”素数。
编程思路本文拟用ｃ 语言编程，求４２亿之内的费尔马“二平方”素数。假如按定义从左向右，先求一个素数Ｆ，然后再去找相应的素数Ｘ、Ｙ ，工作量重复太大。我们可以对上述公式进行分析：
１、左侧Ｆ 是素数，它肯定是奇数，那么右侧两式的和也应该是奇数，这样Ｘ 和Ｙ 为一奇一偶，因为奇数的平方还是奇数，偶数的平方还是偶数。Ｘ、Ｙ 又要求是素数，而既是偶数又是素数的数只有一个，就是２。我们假定Ｘ＝２。所以（１）式可以简化为：Ｆ＝２＊２＋Ｙ ＊Ｙ（２）也就是说，费尔马“二平方”素数的表示形式是惟一的。
２、按式（２）由右向左，由小到大找素数Ｙ ，再计算出相应的Ｆ，判定其是否素数。
３、求出素数Ｙ 后将其保存起来，在判定其它数是否素数时可直接用已求出的素数去除，如此反复。
源程序
#include<math.h>
void main()
{
unsigned long i,j,a[10000],m,m1=3,m2=7,b=1,n=0,d=1,x=4000000000;
a[1]=2;
10:for(i=m1;i<=m2;i++,i++)
{
if(i%a[1]==0) goto 13;
for(j=2;j<=d-1;j++)
if(i%a[j]==0) goto 13;
a[b++]=i; m=i*i+4;
if(m>x) goto 14;
for(j=2;j<=b-2;j++)
if(m%a[j]==0) goto 13;
printf("%20lu=2*2+%5lu*%5lu",m,i,i);
if(++n%2==0) printf("\n");
13:m1=m2+4; m2=a[++d]*a[d]-2;
goto 10;
14:printf("\ntotal=%lu\n",n);
}
结论
运行程序会发现，除“２９＝２＊２＋５＊５”以外，所有的费尔马“二平方”素数个位数字都是３，相应Ｙ 的个位数字都是３或７。费尔马“二平方”素数分布（修改程序中变量ｘ 的值得到）也很耐人寻味，请看下表（表中１０万以内包含１万以内，下同）：
范围个数最大的一个的表达式
１万１０９４１３＝２＊２＋９７＊９７
１０万２０９７９７３＝２＊２＋３１３＊３１３
１００万４２９９４０１３＝２＊２＋９９７＊９９７
１０００万７６９２２３３７３＝２＊２＋３０３７＊３０３７
１亿１８３９７７５２７７３＝２＊２＋９８８７＊９８８７
１０亿４２７９９９００２４５３＝２＊２＋３１６０７＊３１６０７
２０亿５５１１９８３１８８０９３＝２＊２＋４４５３３＊４４５３３
３０亿６４１２９９３５１２３７３＝２＊２＋５４７１３＊５４７１３
４０亿７１８３９７７４４６４９３＝２＊２＋６３０６７＊６３０６７
费尔马“二平方”素数太少了，４０亿内才７１８个，千万分之二还不到呢。
随着数的范围的增大，似乎越来越稀少，但再往后永远是这样吗？会不会在某个范围内反而又稠密起来呢？
费尔马“二平方”素数是无穷多个呢，还是有限多个呢？假如是有限个，又是多少个呢？最大的一个又是什么数呢？
这些问题的证实可能很简单，也许很复杂，真说不定会成为像“哥德巴赫猜想”那样的谜呢！
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下面是作者原程序,因为是中文全角,上面的就改了一下原文放在下面对照:
＃ｉｎｃｌｕｄｅ″ｍａｔｈ ．ｈ″
ｍａｉｎ（）
｛ｕｎｓｉｇｎｅｄ ｌｏｎｇｉ ，ｊ ，ａ［１００００］，ｍ，ｍ１＝３，ｍ２＝７，ｂ ＝１，ｎ ＝０，ｄ ＝１，ｘ＝４０００００００００；
ａ［１］＝２；
ｌ０：ｆｏｒ （ｉ ＝ｍ１；ｉ ＜＝ｍ２；ｉ ＋＋，ｉ ＋＋）
｛ｉｆ （ｉ ％ａ［１］＝＝０）ｇｏｔｏ ｌ３；
ｆｏｒ （ｊ ＝２；ｊ ＜＝ｄ －１；ｊ ＋＋）
ｉｆ （ｉ ％ａ［ｊ］＝＝０）ｇｏｔｏ ｌ３；
ａ［ｂ ＋＋］＝ｉ ；ｍ＝ｉ ＊ｉ ＋４；
ｉｆ （ｍ＞ｘ）ｇｏｔｏ ｌ４；
ｆｏｒ （ｊ ＝２；ｊ ＜＝ｂ －２；ｊ ＋＋）
ｉｆ （ｍ％ａ［ｊ］＝＝０）ｇｏｔｏ ｌ３；
ｐｒｉｎｔｆ（″％２０ｌｕ ＝２＊２＋％５ｌｕ ＊％５ｌｕ″，ｍ，ｉ ，ｉ）；
ｉｆ （＋＋ｎ ％２＝＝０）ｐｒｉｎｔｆ（″＼ｎ″）；
ｌ３：；｝ｍ１＝ｍ２＋４；ｍ２＝ａ［＋＋ｄ］＊ａ［ｄ］－２；
ｇｏｔｏ ｌ０；
ｌ４：ｐｒｉｎｔｆ（″＼ｎｔｏｔａｌ ＝％ｌｕ＼ｎ″，ｎ）；
｝
