手绢中的宇宙--The Universe in a Handkerchief: Lewis Carroll 读后感
Seraph Chutium -- http://com.6to23.com/[/url]
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这里要谈的书是：
Martin Gardner,The Universe in a Handkerchief: Lewis Carroll''s Mathematical Recreations, Games, Puzzles and Word PlaysCopernicus Springer-Verlag, 1996.
我在 1996 年 10 月 20 日邮购获得这本书。但是一直摆到1999 年初才开始读。读完的日子，恰好是 Carroll一百六十七岁冥诞的那一天。也很靠近他逝世一百周年的日子。真是巧合。
Gardner 不算是数学家，但是在数学圈子里，名气绝不亚于任何费尔兹奖得主。有一位SIAM News 的专栏作家 (他本身是一位数学家，曾在布朗大学应用数学系任教)呼吁数学机构应该考虑颁给 Gardner一个荣誉数学博士学位。以答谢他的一生对数学所作的贡献。有关Gardner 的介绍不是我在这篇读书报告中要详细记载的。但是我免不了想要附带几句。
Gardner 在大战退伍后，渡过一段蛰伏的日子。大约是1950 年代，他被推荐为 Scientific American撰写几篇关于数学游戏的文章。可能是读者反应良好，也可能是编辑委员识货，他的几篇文章发展成一个数学娱乐的专栏，而他成为专栏作家，为每一个月的Scientific American撰写一篇专文。如此而一写写了三十多年。在他退休后将过去的专栏文章增补修改，陆续编成专书再度出版，至1998年出完。即使是严肃的数学家，也大都同意，他的数学娱乐文章一点儿也不肤浅。事实上，他被誉为以娱乐与游戏的方法介绍严谨与抽象的数学的第一把好手。有时候，即使内行的专业数学家，也被他那轻松、家常、有趣而又绝对正确的叙述方式所折服。他的文章不再只是娱乐而已，他其实可以将非常抽象而先进的数学，介绍给受过普通教育的社会爱智人士。换句话说，他的专栏文章可以被严肃地带进数学课堂。但是 Gardner 并没有任何数学学位。
我最感到好奇的，并不是 Gardner如何了解那些数学？如何写出那些文章？我最想知道的是，谁把他介绍给Scienific American？谁推荐他担任这份工作？在刚开始的时候，谁在他的背后支持他做下去？当时还那么年轻，没有正确的学历，也没有明显的经验。到底是谁，发现了他并且敢于将这份责任交付给他？我最感慨的，不是Gardner的天才和幸运，而是他的社会。对比于我们自己的社会，我们必须想象，五十年前的美国，就已经是多么的开放、公平和健全。我曾经认为美国之所以强盛，是因为他的自由民主。后来我认为这些只是表面的制度。更深一层的原因是，这种制度使得一个社会比较容易成为健全的社会。我所谓的健全，简单地说就是「每一个座位上坐了一个最适当的人」。因此，良性循环就可以开始。那个适当的人会把他份内的事情作好。因为有适当的人作好社会上每一件不属于自己的事，所以每个人可以全心作好自己适当的工作。因为有适当才能的人坐在适当的座位上，所以当他要作判断、作决定的时候，也都会适当。因为他的适当才能，以及对他那位子的明确认识，所以当他选择接班人的时候，当然也就比较适当。这就是我所谓的健全。我总是想象，当 Gardner 年轻的时候，必定有一个适当位子的人有适当的眼光，认出他的才能，所以给了他一个适当的座位。也许就如美国国歌所唱的，天佑美国。她的一开始，就有华盛顿，同时又有杰佛逊、富兰克林和亚当斯。假设她的良性循环管道从那时候就开始成立，那么她的社会已经健全了三百年，能够不强盛吗？对于我们的社会，相信必定比一百年前，甚至比二十年前要健全得多了。但是其健全的管道显然还不够畅通，尤其在官僚系统里面更是如此。或许，苦难的中国青年，即将可以在二十一世纪，逐渐汰换社会中的旧血，使得我们的社会，也变得健全。
回到原来的主题。Lewis Carroll 是 Charles Lutwidge Dodgson 的笔名。他生于 1832 年 1 月 27 日，卒于 1898 年 1 月 14 日。于 1865 年，出版爱丽丝漫游奇境 (Alice''s Adventures in Wonderland)。七年后 (1872) 出版类似续集的镜中记 (Through the Looking Glass)。他拥有数学学位，二十二岁时毕业于牛津的 Christ Church 学院，并留在那个学院担任数学老师以至终身。虽然他的一生并没有在数学专业上做出重大的贡献，换句话说，他没有出版过多少传世的论文。但是透过其它的著作，却也对数学的整体、和社会大众对于数学的态度，做出卓越的贡献。所以，想必当时也有个识货的人坐在适当的上位，给了 Carroll 这个适当的座位。这个适当的人很可能是 Henry Liddell。两本爱丽丝梦游书中的 Alice，暗指 Alice Liddell。Carroll 很喜欢小孩，结交了许多小朋友，并留下数百封写给许多不同小朋友的信。 Alice 三姊妹都是他的好朋友，她们是 Henry Liddell 的女儿，而这位 Liddell 先生是当时 Christ Church 学院的教务长。
爱丽丝漫游奇境的最佳翻译，当然是赵元任先生的版本。 2000 年底，经典传讯用赵先生的翻译，配上 1999 年在欧洲得奖的新插图，重新将这本书搬上台湾的童书市场，反应热烈。赵先生回国后还继续翻译了镜中记，可惜原稿毁于战火。他在晚年可能有重写出来，但是并没有正式出版，而是夹在他编撰的三册中国话读物之第二册中出版，我个人尚未看过这本书。
在数学方面，Carroll 对于逻辑与机率有一些原创的贡献，但是比起他的文艺著作来说，那些是微不足道的。他的传世之作就是前述的两本爱丽丝游记。除此之外，他还写了类似爱丽丝游记那样的几本书： The Hunting of the Snark (1876)、两辑的 Sylvie and Bruno (1889, 1893)；它们都包含了许多数学、逻辑、益智游戏和各式各样奇特的英文诗。此外，他还留下数以千计的信札和笔记，许多描述扑克牌或英文文字游戏玩法的小手册。他还是个著名而且有创意的业余摄影师。总之，他流传后世的名，并非数学家，而是个作家和「玩家」。(在台湾，也有一位先生自称为作家和玩家，但是我并不打算比较这两个人的才气和能力。这样做不太公平。)
一直到今天，还保留了许多 Carroll 迷。讨论他这个人的专书不下十本。在美国尚且有一个 Carroll 协会，大概比青少年参加的歌友会稍微成熟一点儿吧。 Gardner 在中年以后再读爱丽丝游记的时候才开始对 Carroll 这个人物产生兴趣，后来越是深入，就越发现他两人在本质上之相似。所以逐渐地 Gardner 变成了研究 Carroll 的权威人物之一。这本书，除了收集 Carroll 在故事书、信件、日记、小手册中所发表的数学游戏类创作之外，也蒐集了一些鲜为人知的其它创作，包括奇特的诗、英文文字游戏、牌戏。也首度翻制了三份以无名氏印行的小手册，描述几种 Carroll 自己发明的游戏规则。所以这本书兼具蒐集、整理和考古的功能。
就从这本书的标题说起。什么是「手绢中的宇宙」呢？那是在 Sylvie and Bruno 第二册中， Mein Herr 向 Lady Muriel 表演如何用两张方手绢缝成一个没有里面与外面之分的口袋。这是 Mobius 带的推广，亦即著名的 Klein 瓶。因为它的外面也就是里面，所以它的里面就包含了所有的外面。因此可以夸张地说，这个口袋包含了全宇宙。书里有一张版画插图。但是并没有仔细摘录原文的内容。有意者可以在去查原文，目前有由 Dover 公司的翻制版 (1988)。其实，只要读者知道如何制造 Mobius 带，就不难自己想象如何制造这种口袋。
Carroll 有许多特异功能的诗。有些对应于我们的「崁字诗」，有些就不容易在中国文学中找到对应 (可能是因为我自己的无知吧)。例如以下这首著名的崁字诗，写在镜中记的最后，暗藏了爱丽丝梦游仙境之女主角的真名。只要将每行的第一个字母直著读下来，就会发现答案。「林以亮论翻译」收录了赵元任先生的译诗，并誉之为翻译绝唱，一并录于此。
A boat, beneath a sunny sky
Lingering onward dreamily
In an evening of July---
斜阳照著小划船
慢慢漂著慢慢玩
在一个七月晚半天
Children three that nestle near,
Eager eye and willing ear,
Pleased a simple tale to hear---
小孩三个靠著枕
眼睛愿意耳朵肯
想听故事想得很
Long has paled that sunny sky;
Echoes fade and memories die;
Autumn frosts have slain July.
那年晚霞早已散
声儿模糊影儿乱
秋风到了景况换
Still she haunts me, phantomwise,
Alice moving under skies
Never seen by waking eyes.
但在另外一个天
阿丽丝这小孩仙
老像还在我心边
Children yet, the tale to hear,
Eager eye and willing ear,
Lovingly shall nestle near.
还有小孩也会想
眼睛愿意耳朵痒
也该挤著听人讲
In a Wonderland they lie,
Dreaming as the days go by,
Dreaming as the summers die:
本来都是梦里游
梦里开心梦里愁
梦里岁月梦里流
Ever drifting down the stream---
Lingering in the golden gleam---
Life, what is it but a dream?
顺著流水跟著过
恋著斜阳看著落
人生如梦是不错
用北方的卷舌音来朗诵赵元任的翻译，有特别动人的味道。但是赵先生的译诗，并没有将爱丽丝的名字崁入其中。
她的全名是 Alice Pleasance Liddell，如果音译成中文，或许是「爱丽丝·普理森斯·李德尔」或其它谐音的字。中国人亦不难用这十个字，做一首崁字诗。诗里提到三个小孩，应该就是指 Alice Liddell 等三姊妹。另有一首暗指三姊妹的诗，那三个 Liddell 在诗里隐藏了很久才被后人发现：
All in the golden afternoon
Full leisurely we glide;
For both our oars, withlittleskill,
Bylittlearms are plied,
Whilelittlehands make vain pretence
Our wanderings to guide.
上面这首诗出现三个 little，正好和 Liddell 押韵。这是 Carroll 赠给 Liddell 三姊妹的礼物。谈到 Carroll 的特异诗，最使我感兴趣的是一首「对称诗」：
I often wondered when I cursed,
I
often
wondered
when
I
cursed
Often feared where I would be ---
often
feared
where
I
would
be
Wondered where she''d yield her love,
wondered
where
she''d
yield
her
love
When I yield, so will she.
when
I
yield
so
will
she
I would her will be pitied!
I
would
her
will
be
pitied
Cursed be love! She pitied me ...
cursed
be
love
she
pitied
me
这首诗有六列，每列六个字。如果忽略标点符号，将诗中的三十六个字整齐排列出来，看出来了吗？这是个六乘六的对称矩阵。那首诗，不管横著读或直著读，都是一样的！
中央大学英文系八八级的陈素丽，编造了一首对称的坎字诗，她把「爱丽丝梦游仙境」崁在诗的对角线上。数学系八八级的刘德欣，也创作了一首对称诗，她的作品看起来更象是个有商业价值的装饰品。因为这两份作品都很妙，所以顺便收录于此。
爱山乐水怡闲情
山丽川秀爽心怀
乐川斯逝东向去
水秀逝梦悠往昔
怡爽东悠游历忆
闲心向往历仙梦
情怀去昔忆梦境
多说宽容话
说些容人语
宽容是非少
容人非怕讥
话语少讥讽
在数学游戏方面，Carroll有一些适合初学代数者的益智问题。例如他问，在下式中代入任何x，怎么答案总还是x呢？
(x+7+10)*(1000-8)
------------------------ - 17
992
在一封给某为小男孩的信中，他问一个问题。令x=1 且 y=1，则 2*(x2-y2)=0而且 5*(x-y)=0。所以 2*(x2-y2)=5*(x-y) 现在把等式两边的 (x-y) 除掉，得到 2*(x+y)=5。但是x+y=2，故得 2*2=5。这是怎么回事啊？
除了代数游戏，他还有更多逻辑和机率的游戏。逻辑的交错诡论，在他的书中经常出现，令人目不暇接。 Carroll 本人就是共同发明并且推广符号逻辑运算的人之一。他的许多逻辑诡计，都可以在利用符号运算之后被明朗化。有时候是做 Boolean 运算，有时候是做集合图。例如创造人工智能这门学科的 McCarthy 教授曾藉用 Carroll 式的逻辑谜题，作为 LISP 程序语言的应用范例 (这是 McCarthy 的创作，不是 Carroll 的)。假设 Cheshire Cat 对爱丽丝说
Either I am mad or the Hatter is mad
又说
Either you or the Hater is mad
再说
Only one of the three of us is mad
如果 Cheshire Cat 所言属实，而我们用A代表爱丽丝是疯癫的 (Alice is mad)、用 C 代表 cat是疯癫的、用C代表 Hatter 是疯癫的。则前两句话的逻辑符号就是
((C or H) and (A or H))
这个叙述是真，必须
(C or H) 真而且 (A or H) 真
这两个叙述成真，而且 A、C、H 中只有一个真，明显可见 H 真。也就是说，只有 Hatter 发了疯。
经常，Carroll 的逻辑游戏未必以复杂关系的形式出现，而只是极度地违背常态而富有创意，使得读者错愕。例如在镜中记中，有一段与庄子的蝴蝶梦的类似设计。当红国王梦到爱丽丝，她也正好睡著梦到红国王。而红国王梦中的爱丽丝也正好梦这红国王。如此这般有一个无限的递回关系。最后爱丽丝也不敢肯定，到底谁是真实的、谁是在作梦？再例如一段经常在讨论近代信息社会时被引用的话：「你必须越跑越快，才能留在原地。」这种情况，不是非常适切地反应了近代的快速变迁吗？
Carroll 也在机率论方面有些原创的发现。我们举两个例子。这两个问题出现在 1893 年出版的「枕头问题集」(Pillow Problems) 里面。起初他用了一个副标题 Thought Out During Sleepless Nights。再版时，Carroll 采用了比较正面的说法；他将「睡不著的夜晚」 (sleepless nights) 改成了「值得清醒的时刻」(wakeful hours)。似乎与「屡战屡败」之改成「屡败屡战」有异曲同工之妙。
这本小册子里面有七十二个问题，许多是关于机率的问题。例如考虑一个袋子，内装一个可能是黑色或白色的球。如果投入一个白球，然后随机抽出一个球，而那是个球是白色的。请问此时袋子里的球是白球的机率是多少？当然，答案不再是 1/2。试想另一种情况，如果投入白球后抽出的是黑球，那么袋子里是白球的机率就会是 1 了。也就是说，当我们对一个未知的集合做了一些实验，我们就获得了一些信息，因此能够做更精确的判断。
第二个例子，其实是个玩笑。但是 Carroll 正经八百地写在书里。这是他那七十二题的最后一题！或许他的玩笑是要告诉我们，熬夜太多终究有害健康，连脑袋都糊涂了。他说，如果一个袋子里有两个球，每个都是黑或白色，则他可以证明，那两个球必定是一黑一白。以下是他的「证明」。袋子里的两个球，二黑的机率是 1/4、二白的机率也是 1/4、一黑一白的机率是 1/2 (两个球外型相同，没有顺序上的差别)。假设现在投入一个黑球，则三黑的机率是 1/4、一黑二白的机率也是 1/4、二黑一白的机率是 1/2。现在，从这装有三个球的袋子中抽出一个黑球的机率是
(1/4 * 1) + (1/4 * 1/3) + (1/2 * 2/3) = 1/4 + 1/12 + 1/3 = 8/12 = 2/3
反过来，如果从一个装有三个黑或白球的袋子中抽取一个黑球的机率是 2/3，那么袋子中必定有两个黑球和一个白球。我们知道刚才投入的是一个黑球，所以，还没投入以前的那两个球，必定是一黑一白。「故得证」。
Carroll 有许多发明，其中一些直到今天还很普及。例如他在 1887 年发明一种算法，可以得到任何一个公元日期的星期数。这套算法还会出现在许多童书或数学娱乐书籍内。普林斯顿的 Conway 教授在 1973 于 Eureka 发表了一个更简化的算法。许多人大概都听过一个益智问题：某人带著一只狼、一只羊和一篓高丽菜要渡河，他一次只能带一样东西，因此当他在撑船过河的时候，必有两样东西要留在岸上。但是不能将狼和羊留下，因为狼会吃羊；不能将羊和高丽菜留下，因为羊会吃高丽菜。请问要如何渡河？这也是 Carroll 发明的问题。此外，诸如利用 1/7 的循环节数字 (142857) 玩的把戏，和利用 12345679*9=111111111 这个事实玩的把戏，都经常出现在今天的数学娱乐著作中，这些也都是 Carroll 的发明。
还有一个问题，我觉得已经超出「益智」的范围了。它是个很认真的问题。假如在屋顶上固定一个滑轮，在滑轮上跨一条绳子，使它两端自然下垂。现在带来一只猴子，和一个与猴子等重的铅块。如果在滑轮一侧的绳子尾端系上铅块，并且拉高悬在空中；然后让猴子抓在另一侧的绳子上，与铅块等高。请问，当猴子在那条绳子上下攀爬甚至暂时松手下落的同时，另一侧的铅块会如何改变其高度？ Carroll 在 1893 提出这个问题，受到他附近的物理和数学家认真的讨论。
Carroll 显然是个有强烈「文字慾」的人。在他发明的众多英文文字游戏当中，我最著迷的是 Doublets，或称字链 (Word Links) 或字梯 (Word Ladders)。他在 1878 年首次在日记中提到这个游戏的设计。玩法有两种以上。或许可以由一个人出个题，亦即一个英文字，其它的人依序想一个字，每个字的字母长度需与前一个字等长，而且只准一个字母不同。有点像我常和孩子们玩的中文接词游戏。但是接词游戏通常的规则是两词的头尾相连。另一种玩法是由某人出题，规定了头字和尾字，看看谁最快找到最短路径。要注意的是，这种题目可能根本无解。举例来说，从冷 (cold) 到暖 (warm) 的一组字梯，以及从猩猩 (ape) 进化到人类 (man) 的最短路径之一，分别是
COLD
CORD
CARD
WARD
WARM
APE
APT
OPT
OAT
MAT
MAN
SWORD
SWORE
SPORE
SPARE
SPACE
SPATE
SKATE
SLATE
PLATE
PLACE
PEACE
史丹福大学的 Knuth 教授也是一位著名的有文字慾的人。他还认真地写了电脑程序来帮他玩这个游戏。他用图论 (graph) 的模型，认定同长度但只差一个字母的两个英文字是「相邻」的。在电脑检查了所有英文字之后，他发现有些字是孤立的，亦即没有相邻的字。例如 aloof (冷漠、疏远、不参与某事物，例如 He stands aloof from the crowd) 就是一个孤立的字。真的是字如其形。所以，Knuth 一语双关地定义所有无相邻字的字为 aloof words。如果在玩这个游戏的时候出现，有人出的题目恰好是 aloof 字，就玩不下去了。在五个字母的英文字中，有 671 个 aloof 字。包括 earth、ocean、sugar、laugh、first、third 和 ninth 等。 Knuth 在他自己设计的 1992 年圣诞节卡片上，展现了从战争 (sword) 到和平 (peace) 的十一段字梯。我不知道 Knuth 的解是什么，但是中大英文系八八级的陈笑仲找到右边那组解。
除了文字游戏，Carroll还发明了若干扑克牌游戏和摺纸游戏。但是我个人并不太感兴趣。所以，就停在这里吧。
