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有趣的算法世界---算法之根(1)

王朝other·作者佚名  2006-01-08
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欢迎您又来到有趣的算法世界。

上次我们开始聊到了她---美妙的算法,并给出了一个定义。虽然有些争议存在,但您还不至于要辞退导游是吗?哈哈,那就好,我们继续我们的算法之旅。

而其实真正的景色,从现在才开始!如果把她(算法)比喻为一棵大树,那么我现在可不想把您的目光引向那繁茂的枝叶,引向那繁花似锦、姹紫嫣红处……哦不不不,咱们把目光的触角伸向嶙嶙的根部吧,这里是美出生的地方。

一百年前,1900年在巴黎召开的国际数学家会议上,Hilbert发表题为“数学问题”的著名演说,其主要部分讲了23个数学问题,被统一称为Hilbert问题。其中,第10个问题是关于算法的。

问题是这样的:

(10)能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解?或者,设计一个算法来测试多项式是否有整数解。

有意思的是,当时并没有算法的概念,所以他没有使用“算法”这个术语,而用了这样一个短语:“通过有限多次运算就可以决定的过程”。[注释1]

这个演讲意义重大,它揭开了20世纪数学发展的序幕。而尤其是这第10个问题,可谓与计算机息息相关,虽然后来被证明是不可解的,但是它的许多副产品推动了计算机科学的发展,并深刻的揭示了算法的根源。

毫无疑问,我们可以把数学看作她扎根的土壤。事实上,在古老的数学中,早已出现了算法的影子,甚至可以说是很好的算法。比如欧几里德算法,即在欧几里德的《几何原本》(Euclid's Elements ,第VII卷,命题i和ii)中详细阐述的求两个数的最大公约数的过程(即辗转相除法),就是这样的典型。

以现在的方式,我们可以叙述欧几里德算法E如下:

E=“对输入的自然数x,y:

1) 重复下面的操作,直到y=0。

2) 赋值x←x mod y。

3) 交换x和y的值。

4) 输出x。“

在近现代数学中,算法可以说是万花丛中的亮点,常常可以见到她美丽的身影;尤其是在计算机数学中,寻找算法可以说是我们面对的核心问题之一。

看个例子,我上次最后留下的问题“国王的城堡“,作简单分析,就容易知道它是个图论问题,糅合了k-连通图与最优化问题的知识。当然,问题是比较难的,我们加以简化,就会明白。比如可以认为图G的阶为n,我们欲在G的基础上构造k-连通图,现假设所有的边的费用消耗(即修建道路的费用)是个常数,与边的权(道路的长度)无关,若使费用消耗最少,则我们可以使G的边尽可能少,但在知道n和k的情况下,求边数最少的k-连通图G是个难题。

上面说道Hilbert的演讲,但那个时代并没有算法的概念。Hilbert第10个问题似乎有个假设,就是他认为这样的算法是存在的,人们的任务就是找到“她“。但遗憾的是这个问题没有算法解。可是在当时人们无论如何是也不能发现这一点的。只有直观的概念,或许可以写出几个有效的算法,但若没有建立深厚的根基,您不可能证明某个问题没有算法解。

这个根基的建立,在1936年实现了。丘奇和图灵发表论文,从数学的角度定义了算法。我们主要介绍的,就是那时的成就之一,计算机的基本数学模型,图灵机。这其中,可以先提出的是,他们把算法的非形式概念和精确定义之间的联系,第一次明确化,即丘奇-图灵论题:

算法的直觉概念 等于 图灵机算法

在介绍图灵机之前,我们做些准备工作。

历史的发展,总很有趣味性。以数学来看,现在看来非常优雅的思想,在诞生时常被看作怪物,被拒之于千里之外。抽象代数最初的发展,是从群的概念开始的,但群的概念从提出到埋没到再被重新认识,经历了一个漫长的过程。却不说它了,我们就看点抽象代数的知识;只要我们不冷落我们的“算法“,我就为今天的时代感到高兴。

集合的概念,大家都有的,比如我们小学就接触的自然数集N。说到运算,大家也有个直觉概念,比如加法运算“+“,在N上可以进行:

1+1=2 , 1+2=3 ,2+3=5 ,……

但老实说,比起小学就发现等差数列求和规律的高斯来,惭愧的是我在高中学集合初步的时候,仍然没有意识到,集合可以和运算结合到一起,而运算的本质,就可以从另外一个角度来揭示,而不是我们通过一遍遍强调而得到的类于“先验“般的概念:运算是个数学里的动词,1+1就等于2。(您说我是不是要大器晚成呀,哈哈,玩笑玩笑,现在我能做好的导游就很满足了:)

是的,把集合与运算结合到一起,结果出现了一个新的事物:<N,+> 。加法运算“+”其实就是集合上元素的一种映射:1和2都属于N,1+1则映射为2。毫无疑问在这个意义下,我们的“+”运算在N上是封闭的,即任意两个自然数,通过“+”运算映射的结果仍然在N内。当然,您也可以定义一个运算比如“△”,其中1△1=100 ?没问题,只不过它的性质有待您来研究。

设A为一集合,“+”为A上定义的任意运算,如果“+”在A上封闭,则 <A,+> 就称为一个代数结构。一般的,“+”可以换为一个运算的集合,且保证其中每一个运算都是在A上封闭的。

群就是一个非常重要的代数结构。但我们不能再说抽象代数的知识了,如果您感兴趣,可以去查阅有关资料,数学书很好看,而且比计算机书便宜的多:)。

宽泛的讲,图灵机可以说是一个复杂的代数结构,它又是一个通用的计算机模型,能做实际计算机可以做的所有事情。当然,图灵机也有不能解决的问题,但事实上这些问题已经超出了计算机的能力范围了;我们现在基本上是这样认为的。

看看时间,哦不早了,那么我们下次再接着这次旅程,观察美丽的“算法”她的根源。感谢您对她的关注。谢谢。

[注释1] 这里从数学家的直觉看来,算法的有限性可以得到支持。事实上,有穷性是很多书上强调的,而且各有微妙之处。但等下次文章写完后,我将给大家一个答复,为什么在《什么是算法》里我曾提到算法无穷执行的提法。

本帖的题目:

有个富人,住在私人别墅中,他需要他的窗户有这样的功能:

(1)若为黑夜,自动关闭;

(2)若为白天,如果天气允许,自动打开;

(3)如果在开着等情况下,天气变化而不允许打开,则自动关闭。

毫无疑问这需要一个叫单片机的东西和若干电子产品来完成控制,可是如果称解决问题的办法为算法的话,那么您能写出这个算法序列吗?

 
 
 
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