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C#算法设计与分析-寻找素数

王朝c#·作者佚名  2006-01-08
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在这篇文章中,我将使用C#编制两个寻找素数的算法,说明算法设计的重要性以及算法的分析。

素数寻找问题由来已久,一直是一些数学家追求的目的。关于素数的定义及性质,我就不在这里多叙了,相信大家都对此了如指掌。素数的寻找思路比较的简单,根据素数的性质(素数应该不能被除了1和它自身的其他数整除)我们可以从最小的素数2开始,一直到比它小1的数为止,用这些数去整除它,如果它能被整除则它必定不是素数,这是判断单个素数的方法(这个算法思想最简单,时间复杂度最大)。对于寻找比某一个给定的整数值小的所有素数也可以采用这种方法,不过我们会发现,采用这种单个判断的方法所耗的时间比较多。比如查找不大于10的素数,我们必须从2开始一个个判断,共需判断9个数,事实上按照我们后面讲述的方法,只需循环2次就可以了。因此,下面的两种方法都将基于删除法来做。

我们来看看删除法的思想:

1. 将小于给定整数值n的所有正整数加到一个数组中;

2. 删除能够被一些整数整除的数;

3. 数组中遗留的元素就是最后要得到的素数序列。

对于第二步,我们将给出两种方法来实现。我们先来看看算法:

算法一:

class PRime

{

public static int[] PrimeList;

public static void FindPrime(int n)

{

int[] IntList;

IntList=new int[n];

for (int p=2;p<=n;p++) IntList[p-1]=p;

for (int p=2;p<Math.Sqrt(n);p++)

{

int j=p+1;

while (j<=n)

{

if ((IntList[j-1]!=0 ) && ((IntList[j-1]% p)==0) ) IntList[j-1]=0;

j=j+1;

}

}

int i=0;

for (int p=2;p<=n;p++)

{

if (IntList[p-1]!=0) i=i+1;

}

PrimeList=new int[i];

i=0;

for (int p=2;p<=n;p++)

{

if (IntList[p-1]!=0)

{

PrimeList[i]=IntList[p-1];

i=i+1;

}

}

}

}

这这个算法中,删除的数是那些被从2开始直到n的平方根的整数整除的数。这个算法比起前面介绍的单个素数的寻找方法要好,它的循环次数减少了一多半,但是这个算法还不是最理想的:

1. 例如,6既能被2整除,也能被3整除,那么当p=2时,6被删掉了一次;当p=3时,6又被删除了一次,虽然按照我们设定的算法规则,这不会导致冲突(通过判断IntList数组元素是否为0,若为0就不必重复删除),但是这会使得算法的效率低下。

2. 还有计算素数序列元素个数时,我们也走了弯路。第一步,我们先计算出了数组元素大小,第二步才开始赋值,事实上这两步我们可以减去计算数组大小这一步,可以把它放在前面完成。

3. 已经被删除了的元素,也就是那些不是素数的元素,可以不用拿他们去整除整数,例如4不用拿去整除8,因为能被4整除的数肯定能被2整除,已经在前面循环中被删除了。

基于上述考虑,我们得到了一个效率更加高的算法:

class primegood

{

public static int[] PrimeList;

public static void FindPrime(int n)

{

int[] IntList;

int len=n-1;

IntList=new int[n];

for (int p=2;p<=n;p++) IntList[p-1]=p;

for (int p=2;p<Math.Sqrt(n);p++)

{

if (IntList[p-1]==0) continue;

int j=p*p;

while (j<=n)

{

if (IntList[j-1]!=0 )

{

IntList[j-1]=0;

len=len-1;

}

j=j+p;

}

}

PrimeList=new int[len];

int i=0;

for (int p=2;p<=n;p++)

{

if (IntList[p-1]!=0)

{

PrimeList[i]=IntList[p-1];

i=i+1;

}

}

}

}

这个算法思想和前面的算法完全一样,不过改正了上面算法中不完善的一些内容。

为了说明这两个算法的效率区别,我们编制了如下的主程序来比较一下他们的差异:

static void Main()

{

Console.WriteLine("Start!");

DateTime mytime5=DateTime.Now;

primegood.FindPrime(100000);

/*for (int i=0;i<=primegood.PrimeList.Length-1;i++)

{

Console.WriteLine(primegood.PrimeList[i]);

}*/

DateTime mytime6=DateTime.Now;

TimeSpan timeadd3=mytime6-mytime5;

Console.WriteLine(timeadd3.Ticks);

DateTime mytime1=DateTime.Now;

prime.FindPrime(100000);

DateTime mytime2=DateTime.Now;

TimeSpan timeadd=mytime2-mytime1;

DateTime mytime3=DateTime.Now;

primegood.FindPrime(100000);

DateTime mytime4=DateTime.Now;

TimeSpan timeadd2=mytime4-mytime3;

Console.WriteLine(timeadd.Ticks);

Console.WriteLine(timeadd2.Ticks);

}

}

通过运行这个程序,可以发现他们的差别是如此的大(前面的算法所耗时间几乎是后面算法的30-60倍),参见下图:

事实上,这两个算法的时间复杂度近似为:⊙(n1.5);⊙(n);可见,对于同一个问题有着多种不同复杂性的算法实现,算法设计是一门十分重要的学问。

 
 
 
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