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??????????1.1.1 定义
??????????1.1.2 用大O来表述
??????????1.1.3 加法规则
??????????1.1.4 乘法规则
??????????1.1.5 一个特例
??????????1.1.6 一个经验规则
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版本：1.0
作者：Soundboy
日期：2004-8-26
备注：本文是学习数据结构的大O表示法的学习笔记?
一. 简介
做了几年程序，感觉基本的东西很多还不熟悉，所以重新补充数据结构知识。
1.1 大O表示法
上学的时候就学习了大O表示法表示一个算法的效率，也大概明白怎么回事，知道如果没有循环的一段程序的复杂度是常数，一层循环的复杂度是O(n),两层循环的复杂度是O(n^2)? （我用^2表示平方，同理 ^3表示立方）。但是一直对于严格的定义和用法稀里糊涂。
1.1.1 定义
设一个程序的时间复杂度用一个函数 T(n) 来表示，对于一个查找算法，如下：
int seqsearch( int a[], const int n, const int x)
{
int i = 0;
for (; a[i] != x && i
if ( i == n) return -1;
else return i;
}
这个程序是将输入的数值顺序地与数组中地元素逐个比较，找出与之相等地元素。
在第一个元素就找到需要比较一次，在第二个元素找到需要比较2次，……，在第n个元素找到需要比较n次。对于有n个元素的数组，如果每个元素被找到的概率相等，那么查找成功的平均比较次数为:
f(n) = 1/n (n + (n-1) + (n-2) + ... + 1) = (n+1)/2 = O(n)
这就是传说中的大O函数的原始定义。
1.1.2 用大O来表述
要全面分析一个算法，需要考虑算法在最坏和最好的情况下的时间代价，和在平均情况下的时间代价。对于最坏情况，采用大O表示法的一般提法（注意，这里用的是“一般提法”）是：当且仅当存在正整数c和n0,使得 T(n) = n0 都成立。则称该算法的渐进时间复杂度为T(n) = O(f(n))。这个应该是高等数学里面的第一章极限里面的知识。这里f(n) = (n+1)/2, 那么c * f(n)也就是一个一次函数。就是在图象上看就是如果这个函数在c*f(n)的下面，就是复杂度为T(n) = O(f(n)),图中的几条绿色的线都符合这个要求。
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在途中，红色的线代表c*f(n) ＝ c (n+1)/2 ,需要说明的是，两个绿色曲线我们假定它不会和红色线在Y的左边相交。而图中的蓝色线就不能说其渐进复杂度就不是O(f(n)).
对于对数级，我们用大O记法记为O(log2N)就可以了。
1.1.3 加法规则
T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O ( max (f(n), g(m) )
1.1.4 乘法规则
T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m))
1.1.5 一个特例
在大O表示法里面有一个特例，如果T1(n) ＝ O(c)， c是一个与n无关的任意常数，T2(n) = O ( f(n) ) 则有
T(n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O( f(n) ).
也就是说，在大O表示法中，任何非0正常数都属于同一数量级，记为O(1)。
1.1.6 一个经验规则
有如下复杂度关系
c
其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、 log2N 、n 、 n*log2N ,那么这个算法时间效率比较高 ，如果是 2^n , 3^n ,n!，那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。
